P 11.11. Seja o espaço linear real de dimensão 2 , e considere a função definida por .
a) Mostre que é uma norma, ou seja, que para todos os se tem
i) e se ;
ii) para todo o ;
iii) .
b) Mostre que é um produto interno.
c) Designa-se por a projecção ortogonal, relativamente ao produto interno definido em b), de sobre o subespaço gerado pelo vector . Determine uma fórmula para .
Passo 1
O enunciado define em a aplicação
e pede:
– (a) mostrar que é norma (positividade, homogeneidade, desigualdade triangular);
– (b) mostrar que
é produto interno em ;
– (c) determinar a projecção ortogonal sobre o subespaço gerado por relativa a esse produto interno.
Passo 2
(Parte a–i) Positividade e definitude. Como e , temos
Se então , o que força e , logo . Concluímos que sempre que .
Passo 3
(Parte a–ii) Homogeneidade. Para qualquer e ,
Passo 4
(Parte a–iii) Desigualdade triangular. Observe o mapa linear
Então
onde |cdot|2 é a norma euclidiana usual em R^2. Pela desigualdade triangular em R^2 segue