P 11.11. Seja V o espaço linear real de dimensão 2 , e considere a função F: V R0^+definida por F(x, y)=raiz(x-y)^2+3 y^2.
a) Mostre que F é uma norma, ou seja, que para todos os alpha, beta in R^2 se tem
i) F(alpha) >= 0 e F(alpha)>0 se alpha neq 0;
ii) F(c alpha)=|c| F(alpha) para todo o c in R;
iii) F(alpha+beta) <= F(alpha)+F(beta).
b) Mostre que lang<=alpha, betarang<==12[F^2(alpha+beta)-F^2(alpha)-F^2(beta)] é um produto interno.
c) Designa-se por E a projecção ortogonal, relativamente ao produto interno definido em b), de V sobre o subespaço gerado pelo vector (3,4) in V. Determine uma fórmula para E(x, y).

Passo 1

O enunciado define em V=R^2 a aplicação
F(x,y)=raiz(x-y)^2+3y^2
e pede:
– (a) mostrar que F é norma (positividade, homogeneidade, desigualdade triangular);
– (b) mostrar que
lang<=alpha,betarang<==tfrac12l[F^2(alpha+beta)-F^2(alpha)-F^2(beta)r]
é produto interno em V;
– (c) determinar a projecção ortogonal E sobre o subespaço gerado por (3,4) relativa a esse produto interno.

Passo 2

(Parte a–i) Positividade e definitude. Como (x-y)^2>=0 e 3y^2>=0, temos
F(x,y)=raiz(x-y)^2+3y^2>=0
Se F(x,y)=0 então (x-y)^2+3y^2=0, o que força x-y=0 e y=0, logo x=0. Concluímos que F(x,y)>0 sempre que (x,y)neq(0,0).

Passo 3

(Parte a–ii) Homogeneidade. Para qualquer cinR e (x,y)in V,
Fl(c x,c yr) =raizl(c x-c yr)^2+3(c y)^2 =raizc^2l[(x-y)^2+3y^2r] =|c|,F(x,y)

Passo 4

(Parte a–iii) Desigualdade triangular. Observe o mapa linear
Acolon VtoR^2, A(x,y)=(,x-y,;raiz3,y,)
Então
F(x,y)=l|A(x,y)r|2
onde |cdot|2 é a norma euclidiana usual em R^2. Pela desigualdade triangular em R^2 segue
F(alpha+beta) =|A(alpha+beta)|2 <=|Aalpha|2+|Abeta|2 =F(alpha)+F(beta)
Logo F satisfaz todos os axiomas de norma.

Passo 5

(Parte b) Produto interno pela identidade de polarização. Primeiro note
F^2(x,y)=(x-y)^2+3y^2=x^2-2xy+4y^2
Definimos então, para alpha=(x,y) e beta=(u,v),
lang<=alpha,betarang<= =tfrac12l[F^2(alpha+beta)-F^2(alpha)-F^2(beta)r] =xu -xv -uy +4,y,v
É imediato conferir que esse binário é simétrico, bilinear sobre R e
lang<=alpha,alpharang<==F^2(alpha)>0se alphaneq0,
logo é um produto interno.

Passo 6

(Parte c) Projecção ortogonal. Seja w=(3,4). A fórmula da projecção de zin V em spanw é
E(z) =lang<= z,wrang<=lang<= w,wrang<=;w
Aqui lang<= w,wrang<==F^2(3,4)=49 e, para z=(x,y),
lang<=(x,y),(3,4)rang<= =3x-4x-3y+16y=-x+13y
Logo
E(x,y) =-x+13y49,(3,4)

Resposta

(a) Verificado que F satisfaz positividade, homogeneidade e desigualdade triangular, logo é norma.
(b) A aplicação
lang<=alpha,betarang<= =tfrac12l[F^2(alpha+beta)-F^2(alpha)-F^2(beta)r]
é um produto interno em V.
(c) A projecção ortogonal de (x,y) em span(3,4) é
E(x,y) =-x+13y49,(3,4)

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