Sejam
e os vetores
e
. Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre
. (Para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.)
Passo 1
O enunciado define em
, para
a aplicação
Para verificar se isto é produto interno, precisamos checar três axiomas:
. Linearidade no primeiro argumento (aditividade e homogeneidade).
. Simetria:
.
. Definitude positiva:
com igualdade só para
.
Passo 2
Verificação de simetria.
Como
, resta comparar
Em geral
logo falha o axioma da simetria.
Passo 3
Verificação da homogeneidade. Seja
.
Para ser linear, precisaríamos
, mas aparece o termo
. Logo falha homogeneidade (e também aditividade, pois o termo em
é não‐linear).
Passo 4
Verificação da definitude positiva.
Se escolhermos
,
logo não é sempre
. Falha o axioma de positividade.
Resposta
A aplicação não é produto interno, pois falha os axiomas de simetria, linearidade (aditividade e homogeneidade) e de definitude positiva.