Sejam V=R^3 e os vetores u=(x1, y1, z1) e v=(x2, y2, z2). Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre R^3. (Para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.)
lang<= u, vrang<==2 x1 y2+3 x2 y1+z1^2 z2^2

Passo 1

O enunciado define em V=R^3, para
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2),
a aplicação
lang<= u,vrang<= ;=;2,x1y2 ;+;3,x2y1;+;z1^2,z2^2
Para verificar se isto é produto interno, precisamos checar três axiomas:
1. Linearidade no primeiro argumento (aditividade e homogeneidade).
2. Simetria: lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=.
3. Definitude positiva: lang<= u,urang<=>=0 com igualdade só para u=0.

Passo 2

Verificação de simetria.
lang<= u,vrang<= =2,x1y2+3,x2y1+z1^2z2^2, lang<= v,urang<= =2,x2y1+3,x1y2+z2^2z1^2
Como z1^2z2^2=z2^2z1^2, resta comparar
2,x1y2+3,x2y1 com 2,x2y1+3,x1y2
Em geral
2,x1y2+3,x2y1neq 2,x2y1+3,x1y2,
logo falha o axioma da simetria.

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja ainR.
lang<= a,u,vrang<= =2,(a x1)y2+3,x2,(a y1)+(a z1)^2z2^2 =a,(2,x1y2+3,x2y1)+a^2,z1^2z2^2
Para ser linear, precisaríamos lang<= a,u,vrang<==alang<= u,vrang<=, mas aparece o termo a^2,z1^2z2^2. Logo falha homogeneidade (e também aditividade, pois o termo em z^2 é não‐linear).

Passo 4

Verificação da definitude positiva.
lang<= u,urang<= =2,x1y1+3,x1y1+z1^4 =5,x1y1+z1^4
Se escolhermos u=(1,-1,0),
lang<= u,urang<= =5cdot1cdot(-1)+0^4 = -5<0,
logo não é sempre >=0. Falha o axioma de positividade.

Resposta

A aplicação não é produto interno, pois falha os axiomas de simetria, linearidade (aditividade e homogeneidade) e de definitude positiva.

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