Seja F=f1, f2, f3 uma base. Mostre E2+7 E3 em termos da base F

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial de dimensão 3 e duas bases:
– A base canônica E=vec E1,vec E2,vec E3, em que
vec E1=(1,0,0), vec E2=(0,1,0), vec E3=(0,0,1)
– A base arbitrária F=vec f1,vec f2,vec f3.
Queremos escrever o vetor
vec v=vec E2+7,vec E3
como combinação linear dos vetores de F. Para isso, vamos precisar:
  1. Escrever vec v na base canônica como coordenadas.
  2. Montar a matriz de mudança de base de F para a base canônica.
  3. Inverter essa matriz para encontrar as coordenadas de vec v em F.

Passo 2

Na base canônica, o vetor vec v tem coordenadas
vec v = vec E2 + 7,vec E3 Longrightarrow [vec v]E = 017

Passo 3

Defina a matriz P cujas colunas são as coordenadas de vec f1,vec f2,vec f3 em relação à base canônica E:
P = l[,vec f1;m|;vec f2;m|;vec f3r]
Então, para qualquer coeficiente (alpha1,alpha2,alpha3)^T,
P, alpha1alpha2alpha3 = alpha1,vec f1 + alpha2,vec f2 + alpha3,vec f3
é a forma de reconstruir vetores em coordenadas canônicas.

Passo 4

Queremos alpha1,alpha2,alpha3 tais que
alpha1,vec f1 + alpha2,vec f2 + alpha3,vec f3 ;=; vec v
Em termos de matrizes, isso é
P alpha1alpha2alpha3 = [vec v]E = 017
Como F é base, P é inversível, e portanto
alpha1alpha2alpha3 = P^-1 017

Passo 5

Concluímos que, em termos da base F,
vec v = vec E2 + 7,vec E3 = alpha1,vec f1 + alpha2,vec f2 + alpha3,vec f3,
onde
alpha1alpha2alpha3 = P^-1 017

Resposta

Em termos da base F,
vec E2+7,vec E3 = alpha1,vec f1 + alpha2,vec f2 + alpha3,vec f3,
com
alpha1alpha2alpha3 = P^-1 017,
onde P=[vec f1midvec f2midvec f3].

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