Seja
uma base. Mostre
em termos da base
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial de dimensão 3 e duas bases:
– A base canônica , em que
– A base canônica
– A base arbitrária
.
Queremos escrever o vetor
Queremos escrever o vetor
como combinação linear dos vetores de
. Para isso, vamos precisar:
- Escrever
na base canônica como coordenadas. - Montar a matriz de mudança de base de
para a base canônica. - Inverter essa matriz para encontrar as coordenadas de
em .
Passo 2
Na base canônica, o vetor
tem coordenadas
Passo 3
Defina a matriz
P cujas colunas são as coordenadas de
vec f1,vec f2,vec f3 em relação à base canônica
E :
Então, para qualquer coeficiente
(alpha1,alpha2,alpha3)^T ,
é a forma de reconstruir vetores em coordenadas canônicas.
Passo 4
Queremos
alpha1,alpha2,alpha3 tais que
Em termos de matrizes, isso é
Como
F é base,
P é inversível, e portanto
Passo 5
Concluímos que, em termos da base
F ,
onde
Resposta
Em termos da base
F ,
com
onde
P=[vec f1midvec f2midvec f3] .