Mostrar que os polinômios 1,1+t, 1+t+t^2, 1-t, 1-t-t^2-t^3 formam uma base de P3(R).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os polinômios
;p1(t)=1,;p2(t)=1+t,;p3(t)=1+t+t^2,;p4(t)=1-t,;p5(t)=1-t-t^2-t^3
formam uma base de P3(R). Lembrando que
dim P3(R)=4, logo qualquer base desse espaço deve ter exatamente 4 vetores.

Passo 2

Para que esses cinco polinômios formem uma base, eles teriam que ser linearmente independentes. Vamos tentar achar uma combinação linear não-trivial
a,p1(t)+b,p2(t)+c,p3(t)+d,p4(t)+e,p5(t)=0
que seja identicamente zero, mas com algum coeficiente diferente de zero.

Passo 3

Expandindo cada
Da última equação vem . Substituindo na segunda, , isto é, . E na primeira, , logo , ou .

Passo 4

Escolhendo b=1 (qualquer escolha escalar não-nula dá um exemplo), temos
a=-2, b=1, c=0, d=1, e=0
e a combinação
-2,p1(t)+1cdot p2(t)+0cdot p3(t)+1cdot p4(t)+0cdot p5(t) =-2cdot1+(1+t)+(1-t)=0
é não-trivial. Concluímos que os cinco polinômios são linearmente dependentes.

Resposta

Os cinco polinômios não formam base de P3(R) pois são linearmente dependentes e, além disso, o espaço é de dimensão 4 e não 5.

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