Mostrar que os polinômios
formam uma base de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os polinômios
formam uma base de . Lembrando que
, logo qualquer base desse espaço deve ter exatamente 4 vetores.
formam uma base de
Passo 2
Para que esses cinco polinômios formem uma base, eles teriam que ser linearmente independentes. Vamos tentar achar uma combinação linear não-trivial
que seja identicamente zero, mas com algum coeficiente diferente de zero.
Passo 3
Expandindo cada
Da última equação vem . Substituindo na segunda,
, isto é,
. E na primeira,
, logo
, ou
.
Passo 4
Escolhendo
(qualquer escolha escalar não-nula dá um exemplo), temos
e a combinação
é não-trivial. Concluímos que os cinco polinômios são linearmente dependentes.
Resposta
Os cinco polinômios não formam base de
pois são linearmente dependentes e, além disso, o espaço é de dimensão 4 e não 5.