8 Sejam
e
. Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado define o vetor
em
e o conjunto
ou seja,
Para mostrar que
é subespaço vetorial, precisamos verificar três propriedades:
-
não é vazio (contém o vetor zero), - é fechado sob soma de vetores,
- é fechado sob produto por escalar.
Passo 2
Verificamos que o vetor zero
pertence a
, pois
Logo,
.
Passo 3
Sejam
e
vetores em
. Então
Para a soma
temos
logo
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 4
Seja
e
tal que
. Então
logo
. Assim,
é fechado sob multiplicação escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob produto escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.