8 Sejam v0=(x0, y0, z0) in R^3 e W=(x, y, z) in R^3:(x, y, z) perp v0. Mostre que W é um subespaço vetorial de R^3.

Passo 1

O enunciado define o vetor v0=(x0,y0,z0) em R^3 e o conjunto
W=(x,y,z)inR^3 : (x,y,z)perp v0,
ou seja,
W=uinR^3 : ucdot v0=0
Para mostrar que W é subespaço vetorial, precisamos verificar três propriedades:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero),
  2. é fechado sob soma de vetores,
  3. é fechado sob produto por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero 0=(0,0,0) pertence a W, pois
0cdot v0 = (0,0,0)cdot(x0,y0,z0) = 0cdot x0+0cdot y0+0cdot z0 = 0
Logo, 0in W.

Passo 3

Sejam u e w vetores em W. Então
ucdot v0=0 e wcdot v0=0
Para a soma u+w temos
(u+w)cdot v0 = ucdot v0 + wcdot v0 = 0 + 0 = 0,
logo u+win W. Assim, W é fechado sob adição.

Passo 4

Seja alphainR e uin W tal que ucdot v0=0. Então
(alpha u)cdot v0 = alpha,(ucdot v0) = alphacdot 0 = 0,
logo alpha uin W. Assim, W é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob produto escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de R^3.

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