Solve the differential equation.
y^prime=x y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem y'=x,y. O conteúdo é EDO separável, e vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Reescrevemos y'=dydx e separamos as variáveis: todas as quantidades em y de um lado e em x do outro. Temos
1y,dy = x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Do lado esquerdo usamos integral 1y,dy = ln|y| e do direito integral x,dx = tfracx^22+C1:
ln|y| = x^22 + C1

Passo 4

Aplicamos exponencial em ambos os lados para isolar y. Ressignificamos C= e^C1, que é uma constante arbitrária não nula:
|y| = e^C1e^x^2/2 = C e^x^2/2

Passo 5

Como C já engloba sinal positivo ou negativo, podemos escrever diretamente
y = C e^x^2/2

Resposta

y = C e{x2/2}, onde C é constante arbitrária

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