Sejam varepsilon um experimento aleatório e S o espaço amostral a ele correspondente. Sejam A e B dois eventos de S. Demonstre que se A e B são independentes então também são independentes os seguintes pares de eventos:
i) A e barB
ii) barA eB
iii) barA e barB

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que a gente vai usar.
Enunciado: “Se A e B são independentes (ou seja, ), prove que também são independentes os pares
i) e
ii) e
iii) e ”.
Conteúdo: probabilidade, definição de independência e propriedades de complemento.
O que precisamos:
  1. Definição de independência: .
  2. Fato de probabilidades de complementar: e fórmulas de união/interseção (tipo , etc.).

Passo 2

Provar que P(Acap bar B)=P(A)-P(Acap B), e P(Acap bar B) =P(A)-P(A),P(B) =P(A),l(1-P(B)r) =P(A),P(bar B) são independentes.
  1. Sabemos que porque o evento se divide em “ ” e “ ”.
  2. Como e são independentes, .
  3. Então
Isso é exatamente a definição de independência entre e .

Passo 3

Provar que P(bar Acap B)=P(B)-P(Acap B) e P(bar Acap B) =P(B)-P(A),P(B) =P(B),l(1-P(A)r) =P(bar A),P(B) são independentes.
  1. Pelo mesmo raciocínio de antes,
  2. Como , vem
Pronto, e também independentes.

Passo 4

Provar que P(bar Acap bar B)=1-Pl(Acup Br) e P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B) são independentes.
  1. Use a identidade de De Morgan e união: P(bar Acap bar B) =1-l[P(A)+P(B)-P(A),P(B)r] =1-P(A)-P(B)+P(A),P(B) =(1-P(A)),(1-P(B)) =P(bar A),P(bar B)
  2. E a fórmula da união:
  3. Substituindo , dá
Aí fechou: e também independentes.

Resposta

Mostramos que
i) ,
ii) ,
iii) .
Logo, os três pares de eventos são independentes.

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