Sejam
um experimento aleatório e
o espaço amostral a ele correspondente. Sejam A e B dois eventos de S. Demonstre que se A e B são independentes então também são independentes os seguintes pares de eventos:
i)
ii)
eB
iii)
i)
ii)
iii)
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que a gente vai usar.
Enunciado: “Se A e B são independentes (ou seja, ), prove que também são independentes os pares
i) e
ii) e
iii) e
”.
Conteúdo: probabilidade, definição de independência e propriedades de complemento.
O que precisamos:
Enunciado: “Se A e B são independentes (ou seja,
i)
ii)
iii)
Conteúdo: probabilidade, definição de independência e propriedades de complemento.
O que precisamos:
- Definição de independência:
. - Fato de probabilidades de complementar:
e fórmulas de união/interseção (tipo , etc.).
Passo 2
Provar que
e
são independentes.
- Sabemos que
porque o evento se divide em “ ” e “ ”. - Como
e são independentes, . - Então
Isso é exatamente a definição de independência entre
e
.
Passo 3
Provar que
e
são independentes.
- Pelo mesmo raciocínio de antes,
- Como
, vem
Pronto,
e
também independentes.
Passo 4
Provar que
e
são independentes.
- Use a identidade de De Morgan e união:
- E a fórmula da união:
- Substituindo
, dá
Aí fechou:
e
também independentes.
Resposta
Mostramos que
i) ,
ii) ,
iii) .
Logo, os três pares de eventos são independentes.
i)
ii)
iii)
Logo, os três pares de eventos são independentes.