No jogo de pôquer, com um baralho de 32 cartas, qual é a probabilidade de um jogador receber, “de mão”:
um par?
um par?
Passo 1
O enunciado: num baralho de 32 cartas, um jogador recebe uma mão de cinco cartas (isto é o padrão em muitas variantes de pôquer). Pergunta: qual é a probabilidade de a mão conter exatamente um par (ou seja, um par e as outras três cartas todas de ranks diferentes entre si e diferentes do rank do par)?
Informações dadas:
- Baralho:
cartas. - Presume-se que há
ranks (cada um com naipes), porque . - Tamanho da mão:
cartas. - Evento pedido: mão com exatamente um par.
Passo 2
Entender o que é “um par” (exatamente um par) em termos combinatórios:
- Um par significa ter exatamente duas cartas do mesmo rank e as outras três cartas de ranks distintos entre si e diferentes do rank do par.
- Devemos excluir mãos como dois pares, trinca (three of a kind), full house, quadra, etc. Portanto contamos somente as mãos com exatamente uma dupla e mais três cartas todas de ranks distintos.
Passo 3
Calcular o número total de mãos possíveis de
cartas a partir de
:
Calculemos esse valor:
Passo 4
Contar as mãos que constituem exatamente um par — decompor o processo em escolhas independentes:
- Escolher o rank que formará o par: há
escolhas. - Dentro desse rank escolhido, escolher
dos naipes para formar o par: . - Para as outras três cartas: escolher
ranks distintos dentre os ranks restantes (não se pode escolher o rank do par): . - Para cada um desses
ranks escolhidos, escolher 1 naipe entre os disponíveis: .
Portanto o número de mãos favoráveis é
Passo 5
Calcular numericamente cada combinador e o produto:
Multiplicando:
Calcule passo a passo:
Logo existem
mãos com exatamente um par.
Passo 6
Agora a probabilidade é
Podemos simplificar dividindo por
:
Em forma decimal:
Em porcentagem isso dá aproximadamente
.
Passo 7
Comentário rápido (como checar mentalmente na prova): a ideia é sempre multiplicar escolhas independentes e dividir pelo número total de mãos. Para um par você escolhe o rank do par, os dois naipes desse par, depois garante que os outros três sejam de ranks distintos entre si e de naipe qualquer. Essa construção evita contar dois pares ou trincas porque exigimos exatamente três ranks distintos nas cartas restantes e apenas uma dupla no rank inicial.