No jogo de pôquer, com um baralho de 32 cartas, qual é a probabilidade de um jogador receber, “de mão”:
um par?

Passo 1

O enunciado: num baralho de 32 cartas, um jogador recebe uma mão de cinco cartas (isto é o padrão em muitas variantes de pôquer). Pergunta: qual é a probabilidade de a mão conter exatamente um par (ou seja, um par e as outras três cartas todas de ranks diferentes entre si e diferentes do rank do par)?
Informações dadas:
  • Baralho: 32 cartas.
  • Presume-se que há 8 ranks (cada um com 4 naipes), porque 8\times4=32.
  • Tamanho da mão: 5 cartas.
  • Evento pedido: mão com exatamente um par.

Passo 2

Entender o que é “um par” (exatamente um par) em termos combinatórios:
  • Um par significa ter exatamente duas cartas do mesmo rank e as outras três cartas de ranks distintos entre si e diferentes do rank do par.
  • Devemos excluir mãos como dois pares, trinca (three of a kind), full house, quadra, etc. Portanto contamos somente as mãos com exatamente uma dupla e mais três cartas todas de ranks distintos.

Passo 3

Calcular o número total de mãos possíveis de 5 cartas a partir de 32:
\text{Total}=\binom{32}{5}.
Calculemos esse valor:
\binom{32}{5}=\frac{32\cdot31\cdot30\cdot29\cdot28}{5!}=\frac{24\,165\,120}{120}=201\,376.

Passo 4

Contar as mãos que constituem exatamente um par — decompor o processo em escolhas independentes:
  1. Escolher o rank que formará o par: há \binom{8}{1}=8 escolhas.
  2. Dentro desse rank escolhido, escolher 2 dos 4 naipes para formar o par: \binom{4}{2}.
  3. Para as outras três cartas: escolher 3 ranks distintos dentre os 7 ranks restantes (não se pode escolher o rank do par): \binom{7}{3}.
  4. Para cada um desses 3 ranks escolhidos, escolher 1 naipe entre os 4 disponíveis: 4^3.
Portanto o número de mãos favoráveis é
\text{Favoráveis}=\binom{8}{1}\cdot\binom{4}{2}\cdot\binom{7}{3}\cdot 4^{3}.á

Passo 5

Calcular numericamente cada combinador e o produto:
\binom{8}{1}=8,\qquad \binom{4}{2}=6,\qquad \binom{7}{3}=35,\qquad 4^{3}=64.
Multiplicando:
\text{Favoráveis}=8\cdot6\cdot35\cdot64.á
Calcule passo a passo:
8\cdot6=48,
48\cdot35=1\,680,
1\,680\cdot64=107\,520.
Logo existem 107\,520 mãos com exatamente um par.

Passo 6

Agora a probabilidade é
P(\text{um par})=\frac{\text{Favoráveis}}{\text{Total}}=\frac{107\,520}{201\,376}.á
Podemos simplificar dividindo por 16:
\frac{107\,520}{201\,376}=\frac{6\,720}{12\,586}=\frac{3\,360}{6\,293}.
Em forma decimal:
P(\text{um par})\approx 0,53392658\approx 0{,}5339.
Em porcentagem isso dá aproximadamente 53{,}39\%.

Passo 7

Comentário rápido (como checar mentalmente na prova): a ideia é sempre multiplicar escolhas independentes e dividir pelo número total de mãos. Para um par você escolhe o rank do par, os dois naipes desse par, depois garante que os outros três sejam de ranks distintos entre si e de naipe qualquer. Essa construção evita contar dois pares ou trincas porque exigimos exatamente três ranks distintos nas cartas restantes e apenas uma dupla no rank inicial.

Resposta

\displaystyle \frac{107\,520}{201\,376}\approx 0{,}53392658\\ \text{(aprox.)}

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