Sejam X e Y variáveis aleatórias com densidade conjunta dada por
f(x,y) = 1x^2y^2, x >= 1, y >= 1
Encontre as densidades marginais de U e V.

Passo 1

Tranquilo! A questão diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y com densidade conjunta
fX,Y(x,y) = 1x^2,y^2, x>=1,;y>=1
Ela quer as “densidades marginais de U e V”. Como não deram nenhuma outra transformação, a gente interpreta que U=X e V=Y — ou seja, basta encontrar as marginais de X e de Y. Para isso, vamos usar o seguinte conceito:
  • A densidade marginal de X (aqui U) é fU(u) ;=;integral-infty^+infty fX,Y(u,y),dy
  • A densidade marginal de Y (aqui V) é fV(v) ;=;integral-infty^+infty fX,Y(x,v),dx
Como a densidade conjunta só vale para x≥1 e y≥1, os limites de integração vão de 1 a ∞.

Passo 2

Vamos achar f_U(u). Pelo que vimos:
fU(u);=;integraly=1^infty fX,Y(u,y),dy ;=;integral1^infty1u^2,y^2,dy, u>=1

Passo 3

Agora integramos em y. Lembra que
integral1^infty1y^2,dy = l[-tfrac1yr]1^infty = 0 -(-1)=1
Então
fU(u) = 1u^2;integral1^infty1y^2,dy = 1u^2times 1 = 1u^2, u>=1

Passo 4

De modo idêntico, para f_V(v) integrou-se em x:
fV(v) =integralx=1^infty1x^2,v^2,dx =1v^2integral1^infty1x^2,dx
Mas a integral de 1/x² de 1 a ∞ também é 1. Logo
fV(v) =1v^2, v>=1

Resposta

As densidades marginais são
boxed fU(u)=1u^2,;u>=1, fV(v)=1v^2,;v>=1

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