Sejam
e
variáveis aleatórias com densidade conjunta dada por
Encontre as densidades marginais de
e
.
Passo 1
Tranquilo! A questão diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y com densidade conjunta
Ela quer as “densidades marginais de U e V”. Como não deram nenhuma outra transformação, a gente interpreta que U=X e V=Y — ou seja, basta encontrar as marginais de X e de Y. Para isso, vamos usar o seguinte conceito:
- A densidade marginal de X (aqui U) é
- A densidade marginal de Y (aqui V) é
Como a densidade conjunta só vale para x≥1 e y≥1, os limites de integração vão de 1 a ∞.
Passo 2
Vamos achar f_U(u). Pelo que vimos:
Passo 3
Agora integramos em y. Lembra que
Então
Passo 4
De modo idêntico, para f_V(v) integrou-se em x:
Mas a integral de 1/x² de 1 a ∞ também é 1. Logo
Resposta
As densidades marginais são