Sejam as variáveis aleatórias e suas distribuições:
Sabendo que
Assim, determine se cada uma das seguintes afirmações é ou Verdadeira (V), ou Falsa (F):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está nos pedindo para verificar se a afirmação $ V(6X) = E(4X) \cdot E(3X - 3) $ é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com variáveis aleatórias e precisamos usar conceitos de média (esperança) e variância.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a variância de $ 6X $, que é $ V(6X) $. Sabemos que, se multiplicamos uma variável aleatória por uma constante, a variância é multiplicada pelo quadrado dessa constante. Então:
Passo 3
Agora, precisamos achar a variância de $ X $. Como $ X $ segue uma distribuição uniforme discreta de 1 a $ n $, a variância é dada por:
Substituindo na expressão anterior:
Passo 4
Vamos agora calcular $ E(4X) $ e $ E(3X - 3) $ separadamente.
- A esperança de $ X $ é $ E(X) = \frac{n + 1}{2} $.
- Então,
Passo 5
Agora, multiplicamos $ E(4X) $ por $ E(3X - 3) $:
Vemos que:
Portanto, os dois lados são iguais.
Resposta
V