Sejam
e
variáveis aleatórias independentes com distribuições normais com média 0 e variância
. Defina as seguintes variáveis aleatórias:
e
. Quais as distribuições de
e de
? [Sugestão: Note que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou trata de variáveis aleatórias normais e suas distribuições relacionadas. Especificamente, temos duas variáveis independentes, $ X_{1} $ e $ X_{2} $, que seguem distribuições normais com média 0 e variância $ \sigma^{2} $. Precisamos descobrir as distribuições das variáveis $ U = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} $ e $ V = \frac{X_{1}}{X_{2}} $.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de distribuições de variáveis aleatórias, como a distribuição qui-quadrado e a distribuição de Cauchy. Além disso, vamos utilizar a definição da distribuição Gama para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a variável $ U = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} $. Sabemos que $ X_{1} $ e $ X_{2} $ são variáveis normais com média 0 e variância $ \sigma^{2} $. Quando elevamos uma variável normal ao quadrado, obtemos uma distribuição qui-quadrado.
Mais especificamente, se $ X \sim N(0, \sigma^{2}) $, então $ \frac{X{2}}{\sigma{2}} $ segue uma distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade, ou seja, $ \frac{X{2}}{\sigma{2}} \sim \chi^{2}(1) $.
Passo 3
Como $ X_{1} $ e $ X_{2} $ são independentes, a soma $ U = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} $ será a soma de duas variáveis qui-quadrado independentes, cada uma com 1 grau de liberdade. Portanto, $ U $ seguirá uma distribuição qui-quadrado com 2 graus de liberdade:
Passo 4
A distribuição qui-quadrado com $ k $ graus de liberdade é um caso especial da distribuição Gama. Especificamente, se $ Z \sim \chi^{2}(k) $, então $ Z \sim Gama\left(\frac{k}{2}, \frac{1}{2}\right) $.
Aplicando isso ao nosso caso, temos $ U \sim \chi^{2}(2) $, então:
Aqui, o parâmetro $ \alpha = 1 $ e $ \beta = \frac{1}{2} $.
Passo 5
Agora, vamos analisar a variável $ V = \frac{X_{1}}{X_{2}} $. O quociente de duas variáveis normais independentes $ X_{1} $ e $ X_{2} $, ambas com média 0, segue uma distribuição conhecida como distribuição de Cauchy.
A distribuição de Cauchy tem a seguinte função de densidade:
No nosso caso, como ambas as variáveis têm variância $ \sigma^{2} $, a distribuição de $ V $ será uma Cauchy com parâmetro de escala ajustado.
Passo 6
Resumindo:
- A variável $ U = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} $ segue uma distribuição Gama com parâmetros $ \alpha = 1 $ e $ \beta = \frac{1}{2\sigma^{2}} $.
- A variável $ V = \frac{X_{1}}{X_{2}} $ segue uma distribuição de Cauchy com localização 0 e escala $ \sigma $.
Resposta
A variável $ U = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} $ segue uma distribuição Gama com parâmetros $ \alpha = 1 $ e $ \beta = \frac{1}{2\sigma^{2}} $, ou seja:
E a variável $ V = \frac{X_{1}}{X_{2}} $ segue uma distribuição de Cauchy com localização 0 e escala $ \sigma $: