Mostre que se X1, ldots, Xn é amostra aleatória de tamanho n da distribuição normal com média mu e variância sigma^2, então barXn=(1 / n) sumi=1^n Xi tem distruição normal com média mu e variância sigma^2 / n. [Sugestão: Função geradora de momentos de barXn.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a média amostral barXn = 1n sumi=1^n Xi, onde X1, ldots, Xn são variáveis aleatórias normais com média mu e variância sigma^2, também segue uma distribuição normal com média mu e variância sigma^2n. Para resolver isso, vamos usar a Função Geradora de Momentos (FGM). Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Função Geradora de Momentos. A FGM de uma variável aleatória X é definida como MX(t) = E[e^tX]. Ela é útil porque, se conhecermos a FGM, podemos identificar a distribuição da variável aleatória.

Passo 3

Sabemos que cada Xi é normal com média mu e variância sigma^2. A FGM de uma variável normal é conhecida e é dada por:
MXi(t) = e^mu t + 12sigma^2t^2

Passo 4

Agora, queremos encontrar a FGM da média amostral barXn = 1n sumi=1^n Xi. Vamos começar calculando MbarXn(t) = E[e^tbarXn].

Passo 5

Substituindo barXn na expressão:
MbarXn(t) = E[e^t cdot 1n sumi=1^n Xi] = E[e^tn sumi=1^n Xi]

Passo 6

Como as Xi são independentes, a expectativa do produto é o produto das expectativas:
MbarXn(t) = prodi=1^n E[e^tn Xi] = prodi=1^n MXi(tn)

Passo 7

Substituindo a FGM de cada Xi:
MbarXn(t) = prodi=1^n e^mu cdot tn + 12sigma^2 (tn)^2 = e^n (mu cdot tn + 12sigma^2 cdot t^2n^2) = e^mu t + 12 sigma^2n t^2

Passo 8

Observamos que a FGM de barXn é:
MbarXn(t) = e^mu t + 12 sigma^2n t^2
Essa é exatamente a FGM de uma variável normal com média mu e variância sigma^2n.

Resposta

Portanto, mostramos que a média amostral barXn segue uma distribuição normal com média mu e variância sigma^2n.

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