Mostre que se
é amostra aleatória de tamanho
da distribuição normal com média
e variância
, então
tem distruição normal com média
e variância
. [Sugestão: Função geradora de momentos de
.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a média amostral
, onde
são variáveis aleatórias normais com média
e variância
, também segue uma distribuição normal com média
e variância
. Para resolver isso, vamos usar a Função Geradora de Momentos (FGM). Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Função Geradora de Momentos. A FGM de uma variável aleatória
é definida como
. Ela é útil porque, se conhecermos a FGM, podemos identificar a distribuição da variável aleatória.
Passo 3
Sabemos que cada
é normal com média
e variância
. A FGM de uma variável normal é conhecida e é dada por:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a FGM da média amostral
. Vamos começar calculando
.
Passo 5
Substituindo
na expressão:
Passo 6
Como as
são independentes, a expectativa do produto é o produto das expectativas:
Passo 7
Substituindo a FGM de cada
:
Passo 8
Observamos que a FGM de
é:
Essa é exatamente a FGM de uma variável normal com média
e variância
.
Resposta
Portanto, mostramos que a média amostral
segue uma distribuição normal com média
e variância
.