Sejam \vec{f}_{1} =\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}, \vec{f}_{2} =2 \vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+2 \vec{e}_{3}, \vec{f}_{3} =-\vec{e}_{1}+2 \vec{e}_{3}
\left(\overrightarrow{\mathbf{f}}_{1}, \overrightarrow{\mathbf{f}}_{3}\right) é LI ou LD?

Passo 1

O enunciado dá três vetores, mas pergunta só sobre o par \left(\overrightarrow{f}_{1},\overrightarrow{f}_{3}\right). Vou escrever claramente o que foi dado e o que se pede.
  • Vetores fornecidos: \overrightarrow{f}_{1}=\overrightarrow{e}_{1}-\overrightarrow{e}_{2}, \qquad \overrightarrow{f}_{2}=2\overrightarrow{e}_{1}-\overrightarrow{e}_{2}+2\overrightarrow{e}_{3}, \qquad \overrightarrow{f}_{3}=-\overrightarrow{e}_{1}+2\overrightarrow{e}_{3}.
  • Pergunta: o par \left(\overrightarrow{f}_{1},\overrightarrow{f}_{3}\right) é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD)?

Passo 2

Conceito usado (explicado passo a passo): dois vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial (coeficientes todos zero). Formalmente, para \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v} dizemos que são LI se, sempre que
\alpha\overrightarrow{u}+\beta\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}
então necessariamente \alpha=0 e \beta=0. Se existir uma solução com (\alpha,\beta)\neq(0,0), os vetores são LD.
Observação prática e atalho útil (também explicado): para dois vetores, outra maneira rápida é verificar se um é múltiplo escalar do outro. Se existir k tal que \overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}, então são LD; se não existir tal k, são LI. Vou usar as duas ideias: 1) comparar coordenadas (atalho) e 2) resolver o sistema da combinação linear para mostrar rigorosamente.

Passo 3

Escrever as coordenadas de \overrightarrow{f}_{1} e \overrightarrow{f}_{3} no referencial \{\overrightarrow{e}_{1},\overrightarrow{e}_{2},\overrightarrow{e}_{3}\}.
  • Como \overrightarrow{f}_{1}=\overrightarrow{e}_{1}-\overrightarrow{e}_{2}, suas coordenadas são \overrightarrow{f}_{1}=(1,-1,0).
  • Como \overrightarrow{f}_{3}=-\overrightarrow{e}_{1}+2\overrightarrow{e}_{3}, suas coordenadas são \overrightarrow{f}_{3}=(-1,0,2).

Passo 4

Teste rápido (múltiplo escalar): suponha que exista k com \overrightarrow{f}_{3}=k\overrightarrow{f}_{1}.
Comparando a primeira componente: -1=k\cdot 1 k=-1.
Usando esse k na segunda componente: segunda componente de k\overrightarrow{f}_{1} seria k\cdot(-1)=(-1)\cdot(-1)=1, mas a segunda componente de \overrightarrow{f}_{3} é 0. Há contradição. Logo NÃO existe tal k. Portanto, pelo atalho, \overrightarrow{f}_{1} e \overrightarrow{f}_{3} não são múltiplos um do outro, o que indica que são LI. Vou agora fazer o cálculo via sistema para mostrar de forma completa.

Passo 5

Resolver a condição de independência pelo sistema da combinação linear:
procuramos \alpha,\beta\) tais que \[\alpha\overrightarrow{f}_{1}+\beta\overrightarrow{f}_{3}=\overrightarrow{0}.
Substituindo coordenadas:
\alpha(1,-1,0)+\beta(-1,0,2)=(0,0,0).
Isso gera o sistema por componentes:
\begin{cases} \alpha - \beta = 0,\\[4pt] -\,\alpha + 0\cdot\beta = 0,\\[4pt] 0\cdot\alpha + 2\beta = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem \alpha=0\]. Substituindo na primeira, \(\alpha-\beta=0 \beta=0. A terceira também dá 2\beta=0\Rightarrow\beta=0, consistente. Assim a única solução é \alpha=\beta=0, a combinação trivial.]

Passo 6

Conclusão e interpretação amigável: tanto pelo teste de múltiplo escalar (que deu contradição) quanto pela resolução do sistema (que só admitiu a solução trivial), concluímos que \overrightarrow{f}_{1} e \overrightarrow{f}_{3} são linearmente independentes. Dica para a prova: sempre que forem só dois vetores, primeiro cheque se um é múltiplo do outro comparando componentes — é rápido — e, se quiser rigor, escreva a combinação linear e resolva as equações de componentes.

Resposta

Linearmente independentes (LI)

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