Sejam \vec{f}_{1} =\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}, \vec{f}_{2} =2 \vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+2 \vec{e}_{3}, \vec{f}_{3} =-\vec{e}_{1}+2 \vec{e}_{3} \left(\overrightarrow{\mathbf{f}}_{1}, \overrightarrow{\mathbf{f}}_{3}\right) é LI ou LD?
Passo 1
O enunciado dá três vetores, mas pergunta só sobre o par \left(\overrightarrow{f}_{1},\overrightarrow{f}_{3}\right). Vou escrever claramente o que foi dado e o que se pede.
Pergunta: o par \left(\overrightarrow{f}_{1},\overrightarrow{f}_{3}\right) é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD)?
Passo 2
Conceito usado (explicado passo a passo): dois vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial (coeficientes todos zero). Formalmente, para \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v} dizemos que são LI se, sempre que
então necessariamente \alpha=0 e \beta=0. Se existir uma solução com (\alpha,\beta)\neq(0,0), os vetores são LD.
Observação prática e atalho útil (também explicado): para dois vetores, outra maneira rápida é verificar se um é múltiplo escalar do outro. Se existir k tal que \overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}, então são LD; se não existir tal k, são LI. Vou usar as duas ideias: 1) comparar coordenadas (atalho) e 2) resolver o sistema da combinação linear para mostrar rigorosamente.
Passo 3
Escrever as coordenadas de \overrightarrow{f}_{1} e \overrightarrow{f}_{3} no referencial \{\overrightarrow{e}_{1},\overrightarrow{e}_{2},\overrightarrow{e}_{3}\}.
Como \overrightarrow{f}_{1}=\overrightarrow{e}_{1}-\overrightarrow{e}_{2}, suas coordenadas são\overrightarrow{f}_{1}=(1,-1,0).
Como \overrightarrow{f}_{3}=-\overrightarrow{e}_{1}+2\overrightarrow{e}_{3}, suas coordenadas são\overrightarrow{f}_{3}=(-1,0,2).
Passo 4
Teste rápido (múltiplo escalar): suponha que exista k com \overrightarrow{f}_{3}=k\overrightarrow{f}_{1}.
Comparando a primeira componente: -1=k\cdot 1 dá k=-1.
Usando esse k na segunda componente: segunda componente de k\overrightarrow{f}_{1} seria k\cdot(-1)=(-1)\cdot(-1)=1, mas a segunda componente de \overrightarrow{f}_{3} é 0. Há contradição. Logo NÃO existe tal k. Portanto, pelo atalho, \overrightarrow{f}_{1} e \overrightarrow{f}_{3} não são múltiplos um do outro, o que indica que são LI. Vou agora fazer o cálculo via sistema para mostrar de forma completa.
Passo 5
Resolver a condição de independência pelo sistema da combinação linear:
procuramos \alpha,\beta\) tais que
\[\alpha\overrightarrow{f}_{1}+\beta\overrightarrow{f}_{3}=\overrightarrow{0}.
Da segunda equação vem \alpha=0\]. Substituindo na primeira, \(\alpha-\beta=0 dá \beta=0. A terceira também dá 2\beta=0\Rightarrow\beta=0, consistente. Assim a única solução é \alpha=\beta=0, a combinação trivial.]
Passo 6
Conclusão e interpretação amigável: tanto pelo teste de múltiplo escalar (que deu contradição) quanto pela resolução do sistema (que só admitiu a solução trivial), concluímos que \overrightarrow{f}_{1} e \overrightarrow{f}_{3} são linearmente independentes. Dica para a prova: sempre que forem só dois vetores, primeiro cheque se um é múltiplo do outro comparando componentes — é rápido — e, se quiser rigor, escreva a combinação linear e resolva as equações de componentes.