Sejam \vec{f}_{1} =\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}, \vec{f}_{2} =2 \vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+2 \vec{e}_{3}, \vec{f}_{3} =-\vec{e}_{1}+2 \vec{e}_{3}
\left(\overrightarrow{\mathbf{f}}_{2}\right) é LI ou LD?

Passo 1

O enunciado dá três vetores em termos da base canônica \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}:
\vec{f}_{1}=\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2},\qquad \vec{f}_{2}=2\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+2\vec{e}_{3},\qquad \vec{f}_{3}=-\vec{e}_{1}+2\vec{e}_{3}.
A pergunta é: o conjunto \{\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}\} é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD)?

Passo 2

Primeiro vamos escrever as coordenadas de cada vetor na base canônica \{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}\}. Cada vetor fica com as componentes x-, y-, z- correspondentes a coeficientes de \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}:
\vec{f}_{1} = (1,-1,0),\qquad \vec{f}_{2} = (2,-1,2),\qquad \vec{f}_{3} = (-1,0,2).

Passo 3

Um teste simples para três vetores em \mathbb{R}^{3} é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, as colunas (os vetores) são LI; se for zero, são LD.
Montamos a matriz A com as colunas \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] -1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos \det(A) por desenvolvimento pela primeira linha. Seja a_{11}=1, a_{12}=2, a_{13}=-1. Os menores correspondentes são:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}=(-1)\cdot 2 - 0\cdot 2 = -2,
M_{12}=\det\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}=(-1)\cdot 2 - 0\cdot 0 = -2,
M_{13}=\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}=(-1)\cdot 2 - (-1)\cdot 0 = -2.
Os cofatores C_{1j}=(-1)^{1+j}M_{1j} são:
C_{11}=+M_{11}=-2,\qquad C_{12}=-M_{12}=2,\qquad C_{13}=+M_{13}=-2.
Portanto o determinante é
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13} =1\cdot(-2)+2\cdot 2+(-1)\cdot(-2).
Calculando termo a termo:
1\cdot(-2)=-2,\qquad 2\cdot 2=4,\qquad (-1)\cdot(-2)=2,
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\det(A)=-2+4+2=4.]

Passo 5

Como \det(A)=4\neq 0, a matriz A tem posto completo e as colunas são linearmente independentes. Pelo critério do determinante para vetores em \mathbb{R}^{3}, concluímos que os vetores \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3} são linearmente independentes.

Resposta

Linearmente independentes

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