Sejam \vec{f}_{1} =\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}, \vec{f}_{2} =2 \vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+2 \vec{e}_{3}, \vec{f}_{3} =-\vec{e}_{1}+2 \vec{e}_{3} \left(\overrightarrow{\mathbf{f}}_{2}\right) é LI ou LD?
Passo 1
O enunciado dá três vetores em termos da base canônica \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}:
A pergunta é: o conjunto \{\vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}\} é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD)?
Passo 2
Primeiro vamos escrever as coordenadas de cada vetor na base canônica \{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}\}. Cada vetor fica com as componentes x-, y-, z- correspondentes a coeficientes de \vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}:
Um teste simples para três vetores em \mathbb{R}^{3} é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, as colunas (os vetores) são LI; se for zero, são LD.
Montamos a matriz A com as colunas \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3}:
Como \det(A)=4\neq 0, a matriz A tem posto completo e as colunas são linearmente independentes. Pelo critério do determinante para vetores em \mathbb{R}^{3}, concluímos que os vetores \vec{f}_{1},\vec{f}_{2},\vec{f}_{3} são linearmente independentes.