Sejam \vec{f}_{1} =\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}, \vec{f}_{2} =2 \vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+2 \vec{e}_{3}, \vec{f}_{3} =-\vec{e}_{1}+2 \vec{e}_{3}
Calcule o versor dos vetores \vec{f}_{1}, \vec{f}_{2} e \vec{f}_{3}

Passo 1

O enunciado dá três vetores expressos na base canônica \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3 e pede o versor (vetor unitário) de cada um. Os vetores são:
\vec{f}_{1}=\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2},\qquad \vec{f}_{2}=2\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+2\vec{e}_{3},\qquad \vec{f}_{3}=-\vec{e}_{1}+2\vec{e}_{3}.
O que precisamos entregar: o versor de \vec{f}_1, o versor de \vec{f}_2 e o versor de \vec{f}_3 — ou seja, cada vetor de mesma direção mas com norma 1.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicando como funciona, com calma).
  • O versor (ou vetor unitário) de um vetor \vec{v} é o vetor \hat{\vec{v}} que tem a mesma direção de \vec{v} e norma 1.
  • Para qualquer vetor \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) em \mathbb{R}^3, a norma euclidiana é
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
Aqui v_1,v_2,v_3 são as componentes do vetor nas direções de \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3.
  • O versor é obtido dividindo-se o vetor pela sua norma:
\hat{\vec{v}}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\frac{v_1}{\|\vec{v}\|},\frac{v_2}{\|\vec{v}\|},\frac{v_3}{\|\vec{v}\|}\right).
Essa operação mantém a direção e força a norma a valer 1. Vamos aplicar isso a cada \vec{f}_i.

Passo 3

Cálculo para \vec{f}_1.
  • Primeiro escrevemos as componentes: \vec{f}_1=\vec{e}_1-\vec{e}_2 tem componentes
\vec{f}_1=(1,-1,0).
  • Calculamos a norma:
\|\vec{f}_1\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}.
  • Então o versor é
\hat{\vec{f}}_1=\frac{\vec{f}_1}{\|\vec{f}_1\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right).

Passo 4

Cálculo para \vec{f}_2.
  • Componentes: \vec{f}_2=2\vec{e}_1-\vec{e}_2+2\vec{e}_3
\vec{f}_2=(2,-1,2).
  • Norma:
\|\vec{f}_2\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.
  • Versor:
\hat{\vec{f}}_2=\frac{\vec{f}_2}{\|\vec{f}_2\|}=\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right).

Passo 5

Cálculo para \vec{f}_3.
  • Componentes: \vec{f}_3=-\vec{e}_1+2\vec{e}_3
\vec{f}_3=(-1,0,2).
  • Norma:
\|\vec{f}_3\|=\sqrt{(-1)^2+0^2+2^2}=\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}.
  • Versor:
\hat{\vec{f}}_3=\frac{\vec{f}_3}{\|\vec{f}_3\|}=\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},0,\frac{2}{\sqrt{5}}\right).

Passo 6

Verificação rápida (importante para a prova): checar que cada versor tem norma 1.
  • Para \hat{\vec{f}}_1: \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+0^2=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.
  • Para \hat{\vec{f}}_2: \left(\tfrac{2}{3}\right)^2+\left(-\tfrac{1}{3}\right)^2+\left(\tfrac{2}{3}\right)^2=\tfrac{4}{9}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{4}{9}=\tfrac{9}{9}=1.
  • Para \hat{\vec{f}}_3: \left(-\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right)^2+0^2+\left(\tfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2=\tfrac{1}{5}+0+\tfrac{4}{5}=1.
    Isso confirma que os vetores encontrados são realmente unitários.

Resposta

\hat{\vec{f}}_1=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}},0\right)
\hat{\vec{f}}_2=\left(\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\right)
\hat{\vec{f}}_3=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{5}},0,\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)

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