Sejam
\vec{f}(t)=t \vec{i}+2 t^{2} \vec{j}+3 t^{3} \vec{k} \mathrm{e}
\vec{g}(t)=2 t \vec{i}+\vec{j}-3 t^{2} \vec{k}, t \geq 0
Calcular:
\lim _{t \rightarrow 1}[\vec{f}(t) \cdot \vec{g}(t)]

Passo 1

O enunciado nos dá as funções vetoriais \vec{f}(t)=t\vec{i}+2t^{2}\vec{j}+3t^{3}\vec{k} e \vec{g}(t)=2t\vec{i}+\vec{j}-3t^{2}\vec{k}, com t\ge0, e pede \displaystyle \lim_{t\to1}[\vec{f}(t)\cdot\vec{g}(t)].
Aqui vamos usar a definição de produto escalar em \mathbb{R}^3 e depois aplicar a propriedade de limite de soma e produto.

Passo 2

Calculamos o produto escalar componente a componente:
\vec{f}(t)\cdot\vec{g}(t) =(t)(2t)+(2t^{2})(1)+(3t^{3})(-3t^{2}).

Passo 3

Simplificando cada termo:
(t)(2t)=2t^{2},\quad (2t^{2})(1)=2t^{2},\quad (3t^{3})(-3t^{2})=-9t^{5}.
Logo,
\vec{f}(t)\cdot\vec{g}(t) =2t^{2}+2t^{2}-9t^{5} =4t^{2}-9t^{5}.

Passo 4

Agora aplicamos o limite quando t\to1. Como 4t^{2}-9t^{5} é um polinômio, basta substituir t=1:
\lim_{t\to1}(4t^{2}-9t^{5}) =4\cdot1^{2}-9\cdot1^{5} =4-9 =-5.

Resposta

-5

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