Sejam
\vec{f}(t)=t \vec{i}+2 t^{2} \vec{j}+3 t^{3} \vec{k} \mathrm{e}
\vec{g}(t)=2 t \vec{i}+\vec{j}-3 t^{2} \vec{k}, t \geq 0
Calcular:
\lim _{t \rightarrow 1}[\vec{f}(t) \times \vec{g}(t)]

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{t\to1}\bigl[\vec{f}(t)\times\vec{g}(t)\bigr],
sendo \displaystyle \vec{f}(t)=t\,\vec{i}+2t^{2}\,\vec{j}+3t^{3}\,\vec{k}
e \displaystyle \vec{g}(t)=2t\,\vec{i}+\vec{j}-3t^{2}\,\vec{k}.
Como soma, produto escalar e produto vetorial de funções polinomiais são operações contínuas, podemos apenas avaliar em t=1.

Passo 2

Calcular primeiro os vetores em t=1: \displaystyle \vec{f}(1)=1\,\vec{i}+2\cdot1^{2}\,\vec{j}+3\cdot1^{3}\,\vec{k}=\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k} \displaystyle \vec{g}(1)=2\cdot1\,\vec{i}+\vec{j}-3\cdot1^{2}\,\vec{k}=2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k}

Passo 3

Usar a definição de produto vetorial via determinante:
\vec{f}(1)\times\vec{g}(1) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} =\vec{i}\,(2\cdot(-3)-3\cdot1) -\vec{j}\,(1\cdot(-3)-3\cdot2) +\vec{k}\,(1\cdot1-2\cdot2).
Isso dá
\vec{f}(1)\times\vec{g}(1) =-9\,\vec{i}+9\,\vec{j}-3\,\vec{k}.

Resposta

-9\vec{i}+9\vec{j}-3\vec{k}

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