Sejam
\vec{f}(t)=t \vec{i}+2 t^{2} \vec{j}+3 t^{3} \vec{k} \mathrm{e}
\vec{g}(t)=2 t \vec{i}+\vec{j}-3 t^{2} \vec{k}, t \geq 0
Calcular:
\quad \lim _{t \rightarrow 1}[(t+1) \vec{f}(t)]

Passo 1

O enunciado dá as funções vetoriais
\vec{f}(t)=t\,\vec{i}+2t^{2}\,\vec{j}+3t^{3}\,\vec{k} \quad\text{e}\quad \vec{g}(t)=2t\,\vec{i}+\vec{j}-3t^{2}\,\vec{k},\;t\ge0
e pede o limite
\lim_{t\to1}\bigl[(t+1)\,\vec{f}(t)\bigr].
O conteúdo envolvido é a multiplicação de vetor por escalar e a propriedade de continuidade de polinômios (que permite avaliar o limite substituindo t=1).

Passo 2

Multiplicamos \vec{f}(t) pelo escalar (t+1):
(t+1)\,\vec{f}(t) =(t+1)\bigl(t\,\vec{i}+2t^{2}\,\vec{j}+3t^{3}\,\vec{k}\bigr).
Distribuindo o escalar em cada componente, obtemos
(t+1)\,\vec{f}(t) =(t+1)\,t\,\vec{i} +2(t+1)\,t^{2}\,\vec{j} +3(t+1)\,t^{3}\,\vec{k}.

Passo 3

Simplificamos cada componente como polinômio em t:
(t+1)\,t = t^{2}+t,
2(t+1)\,t^{2} = 2\bigl(t^{3}+t^{2}\bigr),
3(t+1)\,t^{3} = 3\bigl(t^{4}+t^{3}\bigr).
Portanto
(t+1)\,\vec{f}(t) =(t^{2}+t)\,\vec{i} +2(t^{3}+t^{2})\,\vec{j} +3(t^{4}+t^{3})\,\vec{k}.

Passo 4

Como são polinômios em t, podemos calcular o limite simplesmente substituindo t=1:
t^{2}+t\bigl|_{t=1}=1+1=2,
2(t^{3}+t^{2})\bigl|_{t=1}=2(1+1)=4,
3(t^{4}+t^{3})\bigl|_{t=1}=3(1+1)=6.

Resposta

\lim_{t\to1}\bigl[(t+1)\,\vec{f}(t)\bigr] =2\,\vec{i}+4\,\vec{j}+6\,\vec{k}.

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