Escolha e responda UM E SOMENTE UM item:
Considere f(x, y)=3 x^{3}+2 y^{3}-9 x-6 y. Determine e classifique os pontos críticos de f(x, y).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=3x^{3}+2y^{3}-9x-6y e pede para determinar e classificar os pontos críticos de f. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é explicitamente definida para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Precisamos encontrar todos os pontos onde o gradiente é nulo (ou onde as derivadas parciais não existem — aqui não ocorre), e então classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

O que é um ponto crítico e como encontrá-lo (aula rápida e prática):
  • Um ponto (x_0,y_0) é crítico quando as derivadas parciais primeiras valem zero simultaneamente ou não existem. Como f é polinomial, as derivadas existem em todo lugar, então procuramos as soluções do sistema
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
  • Para calcular derivada parcial em relação a x, tratamos y como constante; para derivada parcial em relação a y, tratamos x como constante. Vou calcular passo a passo.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais primeiras:
  • Derivando em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{3}+2y^{3}-9x-6y\bigr)=9x^{2}-9.
Explicação: \frac{d}{dx}(3x^{3})=9x^{2}, \frac{d}{dx}(2y^{3})=0 pois y é constante, \frac{d}{dx}(-9x)=-9, e -6y zera.
  • Derivando em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{3}+2y^{3}-9x-6y\bigr)=6y^{2}-6.
Explicação: \frac{d}{dy}(2y^{3})=6y^{2}, os outros termos são constantes em y ou em x e anulam.
Agora resolvemos o sistema
9x^{2}-9=0,\qquad 6y^{2}-6=0.
Simplificando cada equação:
9(x^{2}-1)=0\implies x^{2}=1\implies x=\pm 1,
6(y^{2}-1)=0\implies y^{2}=1\implies y=\pm 1.
Portanto os pontos críticos são todas as combinações x=\pm1 e y=\pm1, ou seja:
(1,1),\quad (1,-1),\quad (-1,1),\quad (-1,-1).

Passo 4

Como classificar (segunda derivada, explicação didática):
  • A matriz Hessiana reúne as segundas derivadas: ela mede a curvatura local da função.
  • Denotando f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}, f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}, f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}, a matriz Hessiana é
H=\begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{xy} & f_{yy}\end{pmatrix}.
  • O teste das segundas derivadas (para funções de duas variáveis) usa o determinante D=\det H=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}:
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
    • Se D<0 então ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.
  • Vou calcular as segundas derivadas e aplicar esse teste em cada ponto crítico.]

Passo 5

Cálculo das segundas derivadas:
  • Já tínhamos \displaystyle f_{x}=9x^{2}-9 e \displaystyle f_{y}=6y^{2}-6.
  • Derivando novamente:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(9x^{2}-9)=18x,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(6y^{2}-6)=12y,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(9x^{2}-9)=0,
pois 9x^{2}-9 não depende de y. Logo a Hessiana é diagonal.
O determinante da Hessiana é
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=(18x)(12y)-0=216\,xy.

Passo 6

Classificação ponto a ponto (aplico D e o sinal de f_{xx} em cada ponto crítico):
  • Para (1,1):
    D=216\cdot 1\cdot 1=216>0,\qquad f_{xx}=18\cdot 1=18>0.
    Como D>0 e f_{xx}>0, (1,1) é mínimo local.
  • Para (1,-1):
    D=216\cdot 1\cdot(-1)=-216<0,\qquad f_{xx}=18\cdot 1=18>0.
    Como D<0, (1,-1) é ponto de sela.
  • Para (-1,1):
    D=216\cdot(-1)\cdot 1=-216<0,\qquad f_{xx}=18\cdot(-1)=-18<0.
    Como D<0, (-1,1) é ponto de sela.
  • Para (-1,-1):
    D=216\cdot(-1)\cdot(-1)=216>0,\qquad f_{xx}=18\cdot(-1)=-18<0.
    Como D>0 e f_{xx}<0, (-1,-1) é máximo local.
(Fica uma dica prática: quando a Hessiana é diagonal fica fácil calcular e interpretar D. Aqui a ausência de termo misto ( f_{xy}=0) simplificou muito.)

Resposta

(1,1) — mínimo local
(1,-1) — ponto de sela
(-1,1) — ponto de sela
(-1,-1) — máximo local

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