Escolha e responda UM E SOMENTE UM item:
Considere
. Determine e classifique os pontos críticos de
.
Considere
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar e classificar os pontos críticos de
. Informações relevantes fornecidas:
- A função é explicitamente definida para todo
. - Precisamos encontrar todos os pontos onde o gradiente é nulo (ou onde as derivadas parciais não existem — aqui não ocorre), e então classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Passo 2
O que é um ponto crítico e como encontrá-lo (aula rápida e prática):
- Um ponto
é crítico quando as derivadas parciais primeiras valem zero simultaneamente ou não existem. Como é polinomial, as derivadas existem em todo lugar, então procuramos as soluções do sistema
- Para calcular derivada parcial em relação a
, tratamos como constante; para derivada parcial em relação a , tratamos como constante. Vou calcular passo a passo.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais primeiras:
- Derivando em relação a
:
Explicação:
,
pois
é constante,
, e
zera.
- Derivando em relação a
:
Explicação:
, os outros termos são constantes em
ou em
e anulam.
Agora resolvemos o sistema
Simplificando cada equação:
Portanto os pontos críticos são todas as combinações
e
, ou seja:
Passo 4
Como classificar (segunda derivada, explicação didática):
- A matriz Hessiana reúne as segundas derivadas: ela mede a curvatura local da função.
- Denotando
, , , a matriz Hessiana é
- O teste das segundas derivadas (para funções de duas variáveis) usa o determinante
: - Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
- Vou calcular as segundas derivadas e aplicar esse teste em cada ponto crítico.]
Passo 5
Cálculo das segundas derivadas:
- Já tínhamos
e . - Derivando novamente:
pois
não depende de
. Logo a Hessiana é diagonal.
O determinante da Hessiana é
Passo 6
Classificação ponto a ponto (aplico
e o sinal de
em cada ponto crítico):
-
Para
: Comoe , é mínimo local. -
Para
: Como, é ponto de sela. -
Para
: Como, é ponto de sela. -
Para
: Comoe , é máximo local.
(Fica uma dica prática: quando a Hessiana é diagonal fica fácil calcular e interpretar
. Aqui a ausência de termo misto (
) simplificou muito.)