Seja \ddot{f}(t)=\operatorname{sen} t \vec{i}+\cos t \vec{j}+2 \vec{k} e h(t)=1 / t. Calcular, se existir, cada um dos seguintes limites:
a) \lim _{t \rightarrow 0} \vec{f}(t)
b) \lim _{t \rightarrow 0}[h(t), \vec{f}(t)].

Passo 1

O enunciado fornece duas funções:
\ddot{\vec{f}}(t)=\sin t\,\vec{i}+\cos t\,\vec{j}+2\,\vec{k}
e
h(t)=\frac{1}{t}.
Pede-se calcular, quando existirem, os limites:
a) \displaystyle \lim_{t\to 0}\vec{f}(t),
b) \displaystyle \lim_{t\to 0}[\;h(t),\vec{f}(t)\;].
Informações relevantes que temos:
  • Foi dada a segunda derivada de \vec{f}. Não foram dadas condições iniciais (valores de \vec{f}(0) ou \dot{\vec{f}}(0)), logo ao integrar surgirão constantes (vetores) arbitrários.
  • h(t) é uma função escalar. A notação [\;h(t),\vec{f}(t)\;] não é padrão aqui, então adotarei a interpretação mais natural: os colchetes representam a multiplicação escalar h(t)\,\vec{f}(t) (ou seja, o vetor resultante da função escalar h multiplicando componente a componente o vetor \vec{f}). Se a intenção fosse outra (produto vetorial, produto interno, etc.) o enunciado precisaria dizer — mas com h escalar, a multiplicação escalar é a interpretação direta.

Passo 2

Estratégia para obter \vec{f}(t): integrar componente a componente duas vezes, introduzindo vetores constantes de integração. Vou explicar como se faz integrando funções vetoriais de forma elementar.
Conceito básico: integrar um vetor significa integrar cada componente. Se \ddot{\vec{f}}(t) = (g_1(t),g_2(t),g_3(t)), então
\dot{\vec{f}}(t) = \int \ddot{\vec{f}}(t)\,dt = \bigg(\int g_1(t)\,dt,\;\int g_2(t)\,dt,\;\int g_3(t)\,dt\bigg) + \vec{C},
onde \vec{C} é um vetor constante (constante de integração). Depois, integra-se de novo para obter \vec{f}(t) e aparece outro vetor constante. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Integro a primeira vez para obter \dot{\vec{f}}(t). Temos as integrais elementares:
\int \sin t\,dt = -\cos t + C,\qquad \int \cos t\,dt = \sin t + C,\qquad \int 2\,dt = 2t + C.
Assim, integrando \ddot{\vec{f}}(t) componente a componente:
\dot{\vec{f}}(t) = -\cos t\,\vec{i} + \sin t\,\vec{j} + 2t\,\vec{k} + \vec{A},
onde \vec{A} é o vetor constante de integração \vec{A}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}. Aqui eu expliquei cada integral: a integral de \sin t -\cos t, a de \cos t \sin t, e a de 2 2t.

Passo 4

Agora integro \dot{\vec{f}}(t) para obter \vec{f}(t). Integraremos termo a termo:
\int -\cos t\,dt = -\sin t,\qquad \int \sin t\,dt = -\cos t,\qquad \int 2t\,dt = t^2,\qquad \int \vec{A}\,dt = \vec{A}t.
Então
\vec{f}(t) = -\sin t\,\vec{i} -\cos t\,\vec{j} + t^2\,\vec{k} + \vec{A}t + \vec{B},
onde \vec{B} é o segundo vetor constante de integração \vec{B}=b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k}. Para deixar claro as componentes:
\vec{f}(t)=\bigl(-\sin t + a_1 t + b_1\bigr)\vec{i}+\bigl(-\cos t + a_2 t + b_2\bigr)\vec{j}+\bigl(t^2 + a_3 t + b_3\bigr)\vec{k}.

Passo 5

Calculo o limite pedido em (a): \displaystyle \lim_{t\to 0}\vec{f}(t).
Lembrete importante sobre limites de vetores: o limite de um vetor existe se, e somente se, os limites de todas as componentes existirem. Então calculamos componente a componente usando limites elementares:
  • \displaystyle \lim_{t\to 0}\sin t = 0,
  • \displaystyle \lim_{t\to 0}\cos t = 1,
  • \displaystyle \lim_{t\to 0}t = 0,
  • \displaystyle \lim_{t\to 0}t^2 = 0.
Aplicando essas avaliações às componentes de \vec{f}(t):
\lim_{t\to 0}\bigl(-\sin t + a_1 t + b_1\bigr) = 0 + 0 + b_1 = b_1,
\lim_{t\to 0}\bigl(-\cos t + a_2 t + b_2\bigr) = -1 + 0 + b_2 = b_2-1,
\lim_{t\to 0}\bigl(t^2 + a_3 t + b_3\bigr) = 0 + 0 + b_3 = b_3.
Portanto o limite existe (para quaisquer constantes de integração \vec{A},\vec{B}) e é o vetor
\lim_{t\to 0}\vec{f}(t)=b_1\vec{i}+(b_2-1)\vec{j}+b_3\vec{k}=\vec{B}+(0,-1,0).
Obs.: isso mostra que sem condições adicionais não há um único valor numérico — o limite depende do vetor \vec{B} (constante de integração). Mas existe para qualquer \vec{B}.

Passo 6

Interpretação e preparação para (b): como expliquei no Passo 1, tomo [\;h(t),\vec{f}(t)\;] como a multiplicação escalar h(t)\,\vec{f}(t)=\dfrac{1}{t}\,\vec{f}(t). Para estudar \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{1}{t}\vec{f}(t) vou analisar componente a componente e usar expansões simples quando necessário (por exemplo, \sin t\sim t e \cos t\sim 1-\tfrac{t^2}{2} quando t\to 0).

Passo 7

Escrevo explicitamente \dfrac{1}{t}\vec{f}(t) pelas componentes obtidas no Passo 4:
\frac{1}{t}\vec{f}(t)=\frac{-\sin t + a_1 t + b_1}{t}\,\vec{i}+\frac{-\cos t + a_2 t + b_2}{t}\,\vec{j}+\frac{t^2 + a_3 t + b_3}{t}\,\vec{k}.
Para que \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{1}{t}\vec{f}(t) exista e seja finito, cada uma das três frações escalares deve ter limite finito quando t\to 0. Vou analisar cada uma:
Componente \vec{i}:
\frac{-\sin t + a_1 t + b_1}{t} = \frac{-\sin t}{t} + a_1 + \frac{b_1}{t}.
Sabemos que \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1. Assim a expressão tende para -1+a_1 desde que \dfrac{b_1}{t} não exploda; isto exige necessariamente b_1=0. Se b_1\neq 0, a componente \vec{i} diverge como 1/t e o limite não existe.
Componente \vec{j}:
\frac{-\cos t + a_2 t + b_2}{t} = \frac{-\cos t + 1}{t} + \frac{b_2-1}{t} + a_2.
Aqui note que -\cos t + 1 é O(t^2), logo \dfrac{-\cos t + 1}{t}\to 0. Assim a parte problemática é \dfrac{b_2-1}{t}: para que não diverja precisamos ter b_2-1=0, isto é, b_2=1. Se b_2\neq 1, a componente \vec{j} diverge.
Componente \vec{k}:
\frac{t^2 + a_3 t + b_3}{t} = t + a_3 + \frac{b_3}{t}.
Para que haja limite finito precisamos b_3=0. Caso contrário há divergência por b_3/t.
Conclusão desta análise: a existência de um limite finito para \dfrac{1}{t}\vec{f}(t) obriga
\vec{B}=(b_1,b_2,b_3)=(0,1,0).
Note que, com essas condições, \lim_{t\to 0}\vec{f}(t)=\vec{B}+(0,-1,0)=(0,1,0)+(0,-1,0)=\vec{0}. Ou seja, a condição para que o produto h(t)\vec{f}(t) tenha limite finito é exatamente que \lim_{t\to 0}\vec{f}(t)=\vec{0}.

Passo 8

Calculo o valor do limite no caso em que \vec{B}=(0,1,0). Quando \vec{B}=(0,1,0) temos \vec{f}(0)=\vec{0}, então
\frac{1}{t}\vec{f}(t)=\frac{\vec{f}(t)-\vec{f}(0)}{t}.
Ao fazer t\to 0, o quociente \dfrac{\vec{f}(t)-\vec{f}(0)}{t} tende ao vetor derivada \dot{\vec{f}}(0) (a definição de derivada vetorial componente a componente). Podemos também verificar componente a componente usando as expressões: lembrando de \dot{\vec{f}}(t)=-\cos t\,\vec{i}+\sin t\,\vec{j}+2t\,\vec{k}+\vec{A}, obtemos
\dot{\vec{f}}(0)=(-1+a_1)\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}.
Se preferir escrever em forma vetorial,
\dot{\vec{f}}(0)=\vec{A}-\vec{i},
porque \vec{A}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}. Portanto, quando \vec{B}=(0,1,0) (condição necessária e suficiente para existência do limite), temos
\lim_{t\to 0}\frac{1}{t}\vec{f}(t)=\dot{\vec{f}}(0)=(-1+a_1)\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}.
Se \vec{B} não é (0,1,0), o limite \lim_{t\to 0}\dfrac{1}{t}\vec{f}(t) não existe (diverge).

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to 0}\vec{f}(t)=b_1\vec{i}+(b_2-1)\vec{j}+b_3\vec{k}=\vec{B}+(0,-1,0)\n
\displaystyle \lim_{t\to 0}[\;h(t),\vec{f}(t)\;]=\lim_{t\to 0}\frac{1}{t}\vec{f}(t) existe somente se \vec{B}=(0,1,0); nesse caso vale \dot{\vec{f}}(0)=(-1+a_1)\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}=\vec{A}-\vec{i}. Se \vec{B}\neq(0,1,0), esse limite não existe (diverge).

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