Seja
e
. Calcular, se existir, cada um dos seguintes limites:
a)
b)
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado fornece duas funções:
e
Pede-se calcular, quando existirem, os limites:
a) ,
b) .
a)
b)
Informações relevantes que temos:
- Foi dada a segunda derivada de
. Não foram dadas condições iniciais (valores de ou ), logo ao integrar surgirão constantes (vetores) arbitrários. -
é uma função escalar. A notação não é padrão aqui, então adotarei a interpretação mais natural: os colchetes representam a multiplicação escalar (ou seja, o vetor resultante da função escalar multiplicando componente a componente o vetor ). Se a intenção fosse outra (produto vetorial, produto interno, etc.) o enunciado precisaria dizer — mas com escalar, a multiplicação escalar é a interpretação direta.
Passo 2
Estratégia para obter
: integrar componente a componente duas vezes, introduzindo vetores constantes de integração. Vou explicar como se faz integrando funções vetoriais de forma elementar.
Conceito básico: integrar um vetor significa integrar cada componente. Se
, então
onde
é um vetor constante (constante de integração). Depois, integra-se de novo para obter
e aparece outro vetor constante. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Integro a primeira vez para obter
. Temos as integrais elementares:
Assim, integrando
componente a componente:
onde
é o vetor constante de integração
. Aqui eu expliquei cada integral: a integral de
dá
, a de
dá
, e a de
dá
.
Passo 4
Agora integro
para obter
. Integraremos termo a termo:
Então
onde
é o segundo vetor constante de integração
. Para deixar claro as componentes:
Passo 5
Calculo o limite pedido em (a):
.
Lembrete importante sobre limites de vetores: o limite de um vetor existe se, e somente se, os limites de todas as componentes existirem. Então calculamos componente a componente usando limites elementares:
-
, -
, -
, -
.
Aplicando essas avaliações às componentes de
:
Portanto o limite existe (para quaisquer constantes de integração
) e é o vetor
Obs.: isso mostra que sem condições adicionais não há um único valor numérico — o limite depende do vetor
(constante de integração). Mas existe para qualquer
.
Passo 6
Interpretação e preparação para (b): como expliquei no Passo 1, tomo
como a multiplicação escalar
. Para estudar
vou analisar componente a componente e usar expansões simples quando necessário (por exemplo,
e
quando
).
Passo 7
Escrevo explicitamente
pelas componentes obtidas no Passo 4:
Para que
exista e seja finito, cada uma das três frações escalares deve ter limite finito quando
. Vou analisar cada uma:
Componente
:
Sabemos que
. Assim a expressão tende para
desde que
não exploda; isto exige necessariamente
. Se
, a componente
diverge como
e o limite não existe.
Componente
:
Aqui note que
é
, logo
. Assim a parte problemática é
: para que não diverja precisamos ter
, isto é,
. Se
, a componente
diverge.
Componente
:
Para que haja limite finito precisamos
. Caso contrário há divergência por
.
Conclusão desta análise: a existência de um limite finito para
obriga
Note que, com essas condições,
. Ou seja, a condição para que o produto
tenha limite finito é exatamente que
.
Passo 8
Calculo o valor do limite no caso em que
. Quando
temos
, então
Ao fazer
, o quociente
tende ao vetor derivada
(a definição de derivada vetorial componente a componente). Podemos também verificar componente a componente usando as expressões: lembrando de
, obtemos
Se preferir escrever em forma vetorial,
porque
. Portanto, quando
(condição necessária e suficiente para existência do limite), temos
Se
não é
, o limite
não existe (diverge).