Sejam \vec{u}=-2 \vec{i}, \vec{v}=\vec{i}-3 \vec{j} e \vec{w}=2 \vec{i}+\vec{j}-3 \vec{k}. Calcule o volume do paralelepípedo com um vértice na origem O=(0,0,0) e arestas determinadas por \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}.
Resp.: V=18.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u} = -2\vec{i}, \vec{v} = \vec{i}-3\vec{j} e \vec{w} = 2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k},
e pede o volume do paralelepípedo com arestas \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Vamos usar produto misto (produto escalar de um vetor pelo produto vetorial dos outros) para achar esse volume.

Passo 2

O volume do paralelepípedo determinado por \vec{u},\vec{v},\vec{w} é
V = \bigl|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\bigr|.

Passo 3

Primeiro calculamos \vec{v}\times\vec{w} usando determinante:
\vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\\ 1 & -3 & 0 \\\\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = \vec{i}\bigl((-3)(-3)-0\cdot1\bigr) - \vec{j}\bigl(1\cdot(-3)-0\cdot2\bigr) + \vec{k}\bigl(1\cdot1 -(-3)\cdot2\bigr)
= 9\vec{i} -(-3)\vec{j} + 7\vec{k} = 9\vec{i} + 3\vec{j} + 7\vec{k}.

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). Como \vec{u}=(-2,0,0) e \vec{v}\times\vec{w}=(9,3,7), temos
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = (-2)\cdot9 + 0\cdot3 + 0\cdot7 = -18.

Passo 5

O volume é o valor absoluto desse produto misto:
V = \bigl|-18\bigr| = 18.

Resposta

V = 18.

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