Sejam \vec{F}(t)=\left(t, 2, t^{2}\right) e \vec{G}(t)=(t,-1,1). Calcule:
\vec{F}(t) \cdot \vec{G}(t)

Passo 1

O enunciado fornece duas funções vetoriais dependentes do parâmetro t:
\vec{F}(t)=\left(t,\,2,\,t^{2}\right)
\vec{G}(t)=\left(t,\,-1,\,1\right)
A pergunta é: calcular o produto escalar \vec{F}(t)\cdot\vec{G}(t).

Passo 2

Definição do produto escalar em \mathbb{R}^{3}: dados dois vetores
\vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}), o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
Explicando devagar: pega-se cada componente do primeiro vetor e multiplica-se pela componente correspondente do segundo vetor; depois soma-se esses três produtos. O resultado é um número (um escalar) que depende, neste caso, de t.

Passo 3

Identificar as componentes de \vec{F}(t) e \vec{G}(t):
\vec{F}(t) = (F_{1},F_{2},F_{3})=(t,\,2,\,t^{2}), \qquad \vec{G}(t) = (G_{1},G_{2},G_{3})=(t,\,-1,\,1).

Passo 4

Aplicar a fórmula do produto escalar componente a componente:
\vec{F}(t)\cdot\vec{G}(t)=F_{1}G_{1}+F_{2}G_{2}+F_{3}G_{3}.
Substituindo as componentes:
\vec{F}(t)\cdot\vec{G}(t)=t\cdot t + 2\cdot(-1) + t^{2}\cdot 1.

Passo 5

Fazer as multiplicações e simplificar os termos semelhantes:
t\cdot t = t^{2}, \qquad 2\cdot(-1) = -2, \qquad t^{2}\cdot 1 = t^{2}.
Somando:
\vec{F}(t)\cdot\vec{G}(t)=t^{2}-2+t^{2}=2t^{2}-2.
Opcional: fatorando fica \;2(t^{2}-1)=2(t-1)(t+1). Como verificação rápida, se t=1 o produto escalar vale 0, consistente com a fatoração.

Resposta

2t^{2}-2

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