Considere as funções vetoriais F e G dadas a seguir:
\vec{F}(t)=(t, \operatorname{sen} t, 2), \vec{G}(t)=\left(3, t, t^{2}\right)
a) Determine o produto escalar de F e G em função de t
b) Determine H(t)=3(t+1) G(t)-5 t . F(t)
c) Determine o produto vetorial de F e G

Passo 1

O enunciado dá as funções vetoriais
\vec{F}(t)=(t,\;\operatorname{sen} t,\;2),\qquad \vec{G}(t)=(3,\;t,\;t^{2})
e pede três coisas:
  • (a) o produto escalar de \vec{F} por \vec{G} em função de t;
  • (b) H(t)=3(t+1)\,\vec{G}(t)-5t\cdot \vec{F}(t) (a notação 5t\cdot\vec F aqui significa multiplicação do vetor por escalar 5t);
  • (c) o produto vetorial (cross product) de \vec{F} por \vec{G}.
Informações relevantes que temos:
  • componentes de \vec F(t) são \big(t,\;\operatorname{sen}t,\;2\big);
  • componentes de \vec G(t) são \big(3,\;t,\;t^2\big).
    Nada mais é necessário para calcular as três operações pedidas.

Passo 2

(a) Produto escalar — lembrete e estratégia passo a passo.
Definição: para dois vetores em \mathbb{R}^3,
\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\qquad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aqui cada a_i e b_i é a i-ésima componente dos vetores. O produto escalar dá um número (escalar) e calcula-se multiplicando componente a componente e somando.
Aplicando isso a \vec F(t) e \vec G(t), vamos multiplicar as componentes correspondentes e somar:
\vec{F}(t)\cdot\vec{G}(t) = \big(t\big)\cdot\big(3\big) + \big(\operatorname{sen}t\big)\cdot\big(t\big) + \big(2\big)\cdot\big(t^2\big).

Passo 3

Continuando a simplificação do produto escalar:
\vec{F}(t)\cdot\vec{G}(t)=3t + t\operatorname{sen}t + 2t^{2}.
Podemos deixar exatamente assim — é uma expressão limpa em função de t. Pequena observação: se desejarmos, podemos fatorar t (quando útil) como
\vec{F}(t)\cdot\vec{G}(t)=t\big(3+\operatorname{sen}t+2t\big),
mas a forma expandida já é suficiente.

Passo 4

(b) Cálculo de H(t)=3(t+1)\,\vec{G}(t)-5t\cdot\vec{F}(t) — teoria e procedimento.
Regra usada: multiplicação de um vetor por um escalar multiplica cada componente do vetor por esse escalar; subtração de vetores é feita componente a componente. Ou seja, se
\lambda\in\mathbb{R} e \vec v=(v_1,v_2,v_3) então \lambda\vec v=(\lambda v_1,\lambda v_2,\lambda v_3).
Aplicamos isso primeiro a cada termo separadamente.
Calcule 3(t+1)\,\vec G(t):
3(t+1)\,\vec G(t)=3(t+1)\big(3,\;t,\;t^2\big)=\big(9(t+1),\;3t(t+1),\;3t^{2}(t+1)\big).
Calcule 5t\cdot\vec F(t):
5t\cdot\vec F(t)=5t\big(t,\;\operatorname{sen}t,\;2\big)=\big(5t^{2},\;5t\operatorname{sen}t,\;10t\big).
Agora subtrai componente a componente:
H(t)=\big(9(t+1)-5t^{2},\;3t(t+1)-5t\operatorname{sen}t,\;3t^{2}(t+1)-10t\big).

Passo 5

Simplificação final de cada componente de H(t):
Primeira componente:
9(t+1)-5t^{2}=9t+9-5t^{2}.
Segunda componente:
3t(t+1)-5t\operatorname{sen}t=3t^{2}+3t-5t\operatorname{sen}t = t\big(3t+3-5\operatorname{sen}t\big).
Terceira componente:
3t^{2}(t+1)-10t=3t^{3}+3t^{2}-10t = t\big(3t^{2}+3t-10\big).
Portanto uma forma limpa para H(t) é
H(t)=\big(9t+9-5t^{2},\;3t^{2}+3t-5t\operatorname{sen}t,\;3t^{3}+3t^{2}-10t\big).

Passo 6

(c) Produto vetorial — lembrete e estratégia.
Definição: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} é o vetor
\vec{a}\times\vec{b}=\big(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\big).
Uma maneira prática de lembrar é usar o determinante com a base \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}, mas a fórmula componente a componente é suficiente. O produto vetorial produz um vetor ortogonal a \vec a e \vec b.
Aplicando a fórmula a \vec F(t)=(t,\operatorname{sen}t,2) e \vec G(t)=(3,t,t^{2}), calculamos cada componente:

Passo 7

Cálculo componente a componente do produto vetorial:
Primeira componente:
(\vec F\times\vec G)_1=\operatorname{sen}t\cdot t^{2}-2\cdot t = t^{2}\operatorname{sen}t-2t.
Segunda componente:
(\vec F\times\vec G)_2=2\cdot 3 - t\cdot t^{2} = 6 - t^{3}.
Terceira componente:
(\vec F\times\vec G)_3= t\cdot t - \operatorname{sen}t\cdot 3 = t^{2}-3\operatorname{sen}t.
Logo
\vec F(t)\times\vec G(t)=\big(t^{2}\operatorname{sen}t-2t,\;6-t^{3},\;t^{2}-3\operatorname{sen}t\big).

Resposta

\vec{F}(t)\cdot\vec{G}(t)=3t+t\operatorname{sen}t+2t^{2}
H(t)=\big(9t+9-5t^{2},\;3t^{2}+3t-5t\operatorname{sen}t,\;3t^{3}+3t^{2}-10t\big)
\vec{F}(t)\times\vec{G}(t)=\big(t^{2}\operatorname{sen}t-2t,\;6-t^{3},\;t^{2}-3\operatorname{sen}t\big)

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