Considere as funções vetoriais
e
dadas a seguir:
a) Determine o produto escalar de F e G em função de t
b) Determine
c) Determine o produto vetorial de F e G
b) Determine
c) Determine o produto vetorial de F e G
Passo 1
O enunciado dá as funções vetoriais
e pede três coisas:
- (a) o produto escalar de
por em função de ; - (b)
(a notação aqui significa multiplicação do vetor por escalar ); - (c) o produto vetorial (cross product) de
por .
Informações relevantes que temos:
- componentes de
são ; - componentes de
são .
Nada mais é necessário para calcular as três operações pedidas.
Passo 2
(a) Produto escalar — lembrete e estratégia passo a passo.
Definição: para dois vetores em
,
o produto escalar é
Aqui cada
e
é a i-ésima componente dos vetores. O produto escalar dá um número (escalar) e calcula-se multiplicando componente a componente e somando.
Aplicando isso a
e
, vamos multiplicar as componentes correspondentes e somar:
Passo 3
Continuando a simplificação do produto escalar:
Podemos deixar exatamente assim — é uma expressão limpa em função de
. Pequena observação: se desejarmos, podemos fatorar
(quando útil) como
mas a forma expandida já é suficiente.
Passo 4
(b) Cálculo de
— teoria e procedimento.
Regra usada: multiplicação de um vetor por um escalar multiplica cada componente do vetor por esse escalar; subtração de vetores é feita componente a componente. Ou seja, se
e
então
.
Aplicamos isso primeiro a cada termo separadamente.
Aplicamos isso primeiro a cada termo separadamente.
Calcule
:
Calcule
:
Agora subtrai componente a componente:
Passo 5
Simplificação final de cada componente de
:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Portanto uma forma limpa para
é
Passo 6
(c) Produto vetorial — lembrete e estratégia.
Definição: para
e
, o produto vetorial
é o vetor
Uma maneira prática de lembrar é usar o determinante com a base
, mas a fórmula componente a componente é suficiente. O produto vetorial produz um vetor ortogonal a
e
.
Aplicando a fórmula a
e
, calculamos cada componente:
Passo 7
Cálculo componente a componente do produto vetorial:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Logo