1. Sejam (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) vetores unitários nas direções dos eixos ordenados x, y, z. Efetue:
    a) \vec{i} \times \vec{k}
    b) (\vec{i} \times \vec{j}) \times \vec{k}
    c) \vec{j} \cdot(\vec{j} \times \vec{k})

Passo 1

O enunciado pede para calcular produtos vetoriais e escalar envolvendo os vetores unitários \vec{i},\vec{j},\vec{k} que formam uma base ortonormal em \mathbb{R}^3. Vamos usar as propriedades básicas:
  1. \vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}, \vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}, \vec{k}\times\vec{i}=\vec{j} (ordem cíclica).
  2. A operação é anticomutativa: \vec{u}\times\vec{v}=-\,\vec{v}\times\vec{u}.
  3. \vec{u}\cdot\vec{v}=0 se \vec{u} e \vec{v} são ortogonais, e =1 se iguais e unitários.
  4. O produto vetorial de um vetor por si mesmo é o vetor zero.

Passo 2

Para a letra (a), temos \vec{i}\times\vec{k} Como \vec{k}\times\vec{i}=\vec{j}, pela anticomutatividade
\vec{i}\times\vec{k}=-\bigl(\vec{k}\times\vec{i}\bigr)=-\vec{j}.

Passo 3

Para a letra (b), primeiro notamos
\vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}.
Então
(\vec{i}\times\vec{j})\times\vec{k}=\vec{k}\times\vec{k}.
Mas o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é o vetor nulo:
\vec{k}\times\vec{k}=\vec{0}.

Passo 4

Para a letra (c), podemos usar que \vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}. Logo
\vec{j}\cdot\bigl(\vec{j}\times\vec{k}\bigr)=\vec{j}\cdot\vec{i}.
Como \vec{i} e \vec{j} são ortogonais, o produto escalar é zero:
\vec{j}\cdot\vec{i}=0.

Resposta

a) -\vec{j}
b) \vec{0}
c) 0

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