Sejam \vec{u}=\left(a_{1}, b_{1}, c_{1}\right) e \vec{v}=\left(a_{2}, b_{2}, c_{2}\right) dois vetores de \mathbb{R}^{3}. Definimos o produto vetorial de \vec{u} por \vec{v}, que se indica por \vec{u} \wedge \vec{v}, por
\vec{u} \wedge \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \end{array}\right|=\left(b_{1} c_{2}-c_{1} b_{2}\right) \vec{i}+\left(a_{2} c_{1}-a_{1} c_{2}\right) \vec{j}+\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \vec{k}
onde \vec{i}=(1,0,0), \vec{j}=(0,1,0) e \vec{k}=(0,0,1). Verifique que
a) \vec{u} \wedge \vec{v}=-\vec{v} \wedge \vec{u}.
b) \vec{u} \wedge \vec{v} é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}.
c) \vec{u} \wedge(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u} \wedge \vec{v}+\vec{u} \wedge \vec{w}, onde \vec{w}=\left(a_{3}, b_{3}, c_{3}\right).
d) (\vec{u}+\vec{v}) \wedge \vec{w}=\vec{u} \wedge \vec{w}+\vec{v} \wedge \vec{w}.
e) Conclua que dados dois vetores não nulos no espaço é sempre possível produzir um vetor não nulo e perpendicular aos dois vetores dados. Tal vetor será único?

Passo 1

O enunciado dá duas informações principais e faz várias perguntas. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
  • Dados:
    • Dois vetores em \mathbb{R}^3: \vec{u}=\left(a_{1}, b_{1}, c_{1}\right) e \vec{v}=\left(a_{2}, b_{2}, c_{2}\right).
    • Definição do produto vetorial:
    \vec{u}\wedge\vec{v}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \end{array}\right| =\bigl(b_{1} c_{2}-c_{1} b_{2}\bigr)\vec{i} +\bigl(a_{2} c_{1}-a_{1} c_{2}\bigr)\vec{j} +\bigl(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\bigr)\vec{k}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Mostrar que \vec{u}\wedge\vec{v}=-\vec{v}\wedge\vec{u}.
    (b) Mostrar que \vec{u}\wedge\vec{v} é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}.
    (c) Mostrar que \vec{u}\wedge(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\wedge\vec{v}+\vec{u}\wedge\vec{w}, onde \vec{w}=(a_{3},b_{3},c_{3}).
    (d) Mostrar que (\vec{u}+\vec{v})\wedge\vec{w}=\vec{u}\wedge\vec{w}+\vec{v}\wedge\vec{w}.
    (e) Concluir sobre a existência de um vetor não nulo e perpendicular aos dois vetores dados e falar sobre sua unicidade.
Agora começo as demonstrações passo a passo.

Passo 2

Prova do item (a): antissimetria \vec{u}\wedge\vec{v}=-\vec{v}\wedge\vec{u}.
Explicação breve da ideia: trocar duas linhas num determinante muda o sinal do determinante. A definição do produto vetorial é um determinante com as linhas (\vec{i},\vec{j},\vec{k}), (a_1,b_1,c_1) e (a_2,b_2,c_2). Se trocarmos a segunda e a terceira linha (isto é, trocar \vec{u} por \vec{v}), o determinante muda de sinal.
Prova direta componente a componente (mostrar passo a passo):
\vec{v}\wedge\vec{u} =\bigl(b_{2} c_{1}-c_{2} b_{1}\bigr)\vec{i} +\bigl(a_{1} c_{2}-a_{2} c_{1}\bigr)\vec{j} +\bigl(a_{2} b_{1}-a_{1} b_{2}\bigr)\vec{k}.
Compare termo a termo com \vec{u}\wedge\vec{v}:
\bigl(b_{2} c_{1}-c_{2} b_{1}\bigr)= -\bigl(b_{1} c_{2}-c_{1} b_{2}\bigr),
\bigl(a_{1} c_{2}-a_{2} c_{1}\bigr)= -\bigl(a_{2} c_{1}-a_{1} c_{2}\bigr),
\bigl(a_{2} b_{1}-a_{1} b_{2}\bigr)= -\bigl(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\bigr).
Portanto cada componente de \vec{v}\wedge\vec{u} é o negativo da componente correspondente de \vec{u}\wedge\vec{v}, e assim
\vec{v}\wedge\vec{u}=-\bigl(\vec{u}\wedge\vec{v}\bigr),
ou seja
\vec{u}\wedge\vec{v}=-\vec{v}\wedge\vec{u}.

Passo 3

Prova do item (b): \vec{u}\wedge\vec{v} é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}.
Lembrete: dois vetores são ortogonais quando o produto escalar (dot product) entre eles é zero. O produto escalar de \vec{u}=(a_1,b_1,c_1) com \vec{w}=(x,y,z) é
\vec{u}\cdot\vec{w}=a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z.
Vamos calcular \vec{u}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v}) explicitamente usando as componentes do produto vetorial dadas:
\vec{u}\wedge\vec{v}=\bigl(b_{1} c_{2}-c_{1} b_{2}\bigr)\vec{i} +\bigl(a_{2} c_{1}-a_{1} c_{2}\bigr)\vec{j} +\bigl(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\bigr)\vec{k}.
Então
\begin{aligned} \vec{u}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v}) &=a_{1}\bigl(b_{1} c_{2}-c_{1} b_{2}\bigr) +b_{1}\bigl(a_{2} c_{1}-a_{1} c_{2}\bigr) +c_{1}\bigl(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\bigr). \end{aligned}
Agora desenvolve e agrupa termos iguais:
\begin{aligned} \vec{u}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v}) &=a_{1}b_{1}c_{2}-a_{1}c_{1}b_{2} +b_{1}a_{2}c_{1}-b_{1}a_{1}c_{2} +c_{1}a_{1}b_{2}-c_{1}a_{2}b_{1}. \end{aligned}
Observe que os termos aparecem em pares que se cancelam:
  • a_{1}b_{1}c_{2} e -b_{1}a_{1}c_{2} cancelam.
  • -a_{1}c_{1}b_{2} e c_{1}a_{1}b_{2} cancelam.
  • b_{1}a_{2}c_{1} e -c_{1}a_{2}b_{1} são o mesmo produto com sinais opostos (reorganizando fatores), então também cancelam.
Logo tudo cancela e
\vec{u}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v})=0.
Isso mostra que \vec{u}\wedge\vec{v} é ortogonal a \vec{u}.
De forma idêntica, calcular \vec{v}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v}) e expandir dá cancelamentos análogos (ou usar a antissimetria do produto vetorial e o cálculo acima), resultando em
\vec{v}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v})=0.
Portanto \vec{u}\wedge\vec{v} é ortogonal a \vec{v} também.
Observação intuitiva (para fixar a ideia): o produto vetorial representa um vetor perpendicular ao plano gerado por \vec{u} e \vec{v}; as contas acima confirmam isso algebricamente.

Passo 4

Prova do item (c): distributividade na segunda componente,
\vec{u}\wedge(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\wedge\vec{v}+\vec{u}\wedge\vec{w}.
Primeiro, escreva \vec{v}+\vec{w}=(a_{2}+a_{3},\,b_{2}+b_{3},\,c_{2}+c_{3}). Use a fórmula componente a componente do produto vetorial para \vec{u}\wedge(\vec{v}+\vec{w}):
\vec{u}\wedge(\vec{v}+\vec{w}) =\bigl(b_{1}(c_{2}+c_{3})-c_{1}(b_{2}+b_{3})\bigr)\vec{i} +\bigl((a_{2}+a_{3})c_{1}-a_{1}(c_{2}+c_{3})\bigr)\vec{j} +\bigl(a_{1}(b_{2}+b_{3})-(a_{2}+a_{3})b_{1}\bigr)\vec{k}.
Agora distribua os termos dentro de cada componente:
\begin{aligned} \text{componente } \vec{i}&= (b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}) + (b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3}),\\\ \text{componente } \vec{j}&= (a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}) + (a_{3}c_{1}-a_{1}c_{3}),\\\ \text{componente } \vec{k}&= (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}) + (a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}). \end{aligned}
Reagrupando, essas somas são exatamente as componentes de \vec{u}\wedge\vec{v}+\vec{u}\wedge\vec{w}. Portanto
\vec{u}\wedge(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\wedge\vec{v}+\vec{u}\wedge\vec{w}.
Comentários didáticos: essa propriedade vem do fato de que o determinante é linear em cada uma de suas linhas; aqui a operação que define o produto vetorial é linear na segunda linha (a linha com as componentes de \vec{v}).

Passo 5

Prova do item (d): distributividade na primeira componente,
(\vec{u}+\vec{v})\wedge\vec{w}=\vec{u}\wedge\vec{w}+\vec{v}\wedge\vec{w}.
A demonstração é análoga à do passo anterior. Escreva \vec{u}+\vec{v}=(a_{1}+a_{2},\,b_{1}+b_{2},\,c_{1}+c_{2}) e aplique a fórmula do produto vetorial:
(\vec{u}+\vec{v})\wedge\vec{w} =\bigl((b_{1}+b_{2})c_{3}-(c_{1}+c_{2})b_{3}\bigr)\vec{i} +\bigl(a_{3}(c_{1}+c_{2})-(a_{1}+a_{2})c_{3}\bigr)\vec{j} +\bigl((a_{1}+a_{2})b_{3}-a_{3}(b_{1}+b_{2})\bigr)\vec{k}.
Distribuindo e reagrupando cada componente obtemos a soma das componentes de \vec{u}\wedge\vec{w} e \vec{v}\wedge\vec{w}. Logo
(\vec{u}+\vec{v})\wedge\vec{w}=\vec{u}\wedge\vec{w}+\vec{v}\wedge\vec{w}.
Observação: isso mostra que o produto vetorial é bilinear (linear em cada argumento separadamente).

Passo 6

Resposta e discussão do item (e): existência e unicidade de um vetor não nulo perpendicular a dois vetores dados.
Primeiro, existência com o produto vetorial:
  • Se \vec{u} e \vec{v} não são múltiplos um do outro (isto é, são linearmente independentes, não colineares), então o produto vetorial \vec{u}\wedge\vec{v} não é o vetor zero (uma propriedade conhecida; pode-se ver porque as componentes do produto vetorial deletam a possibilidade de todos os três determinantes 2×2 serem zero a menos que haja proporcionalidade). Pelo Passo 3 sabemos que \vec{u}\wedge\vec{v} é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}. Assim, quando \vec{u} e \vec{v} não são colineares, \vec{u}\wedge\vec{v} fornece explicitamente um vetor não nulo perpendicular a ambos.
Verificação do caso colinear:
  • Se \vec{v}=\lambda\vec{u} para algum \lambda\in\mathbb{R}, então calcule diretamente:
\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{u}\wedge(\lambda\vec{u})=\lambda(\vec{u}\wedge\vec{u})=\lambda\vec{0}=\vec{0},
porque \vec{u}\wedge\vec{u}=\vec{0} (determinante com linhas iguais é zero). Nesse caso o produto vetorial é o vetor nulo; ele não fornece um vetor não nulo perpendicular a ambos. Contudo, se \vec{u} e \vec{v} são colineares, existem infinitos vetores não nulos que são perpendiculares aos dois: basta escolher qualquer vetor não nulo perpendicular a \vec{u} (que existe, por exemplo ( -b_1, a_1, 0) se \vec{u}=(a_1,b_1,c_1) e (a_1,b_1)\neq(0,0)) — esse vetor será também perpendicular a \vec{v}=\lambda\vec{u}.
Resumo sobre existência: para quaisquer dois vetores não nulos \vec{u} e \vec{v} sempre existe pelo menos um vetor não nulo perpendicular aos dois:
  • Se \vec{u} e \vec{v} não são colineares, um exemplo natural é \vec{u}\wedge\vec{v} (não nulo).
  • Se \vec{u} e \vec{v} são colineares, então qualquer vetor não nulo perpendicular a \vec{u} serve (há infinitos).
Agora sobre unicidade:
  • Se \vec{u} e \vec{v} não são colineares, os vetores perpendiculares simultaneamente a \vec{u} e \vec{v} formam uma reta (subespaço unidimensional) em \mathbb{R}^{3}: a normal ao plano gerado por \vec{u} e \vec{v}. Assim o vetor perpendicular é único apenas até multiplicação por um escalar não nulo (ou seja, há exatamente duas direções opostas; qualquer múltiplo escalar fornece outro vetor perpendicular). Em outras palavras, a direção (ou linha) é única, mas o vetor não é único — qualquer múltiplo não nulo é aceitável.
  • Se \vec{u} e \vec{v} são colineares, há infinitas direções perpendiculares comuns (um plano inteiro), então a escolha é muito menos única.
Portanto a conclusão é:
  • Sempre se pode encontrar um vetor não nulo perpendicular a dois vetores não nulos dados.
  • Se os vetores dados não são colineares, esse vetor pode ser obtido por \vec{u}\wedge\vec{v} e é único apenas até multiplicação por escalar (duas direções opostas).
  • Se os vetores dados são colineares, existem infinitas soluções não nulas perpendiculares a ambos.

Resposta

(a) \vec{u}\wedge\vec{v}=-\vec{v}\wedge\vec{u}.
(b) \vec{u}\wedge\vec{v} é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v} (ou seja, \vec{u}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v})=0 e \vec{v}\cdot(\vec{u}\wedge\vec{v})=0).
(c) \vec{u}\wedge(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\wedge\vec{v}+\vec{u}\wedge\vec{w}.
(d) (\vec{u}+\vec{v})\wedge\vec{w}=\vec{u}\wedge\vec{w}+\vec{v}\wedge\vec{w}.
(e) Para quaisquer dois vetores não nulos existe um vetor não nulo perpendicular a ambos: se não são colineares, \vec{u}\wedge\vec{v} é um tal vetor (não nulo) e a direção é única até escalar; se são colineares, existem infinitos vetores perpendiculares comuns.

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