Demonstre que, se
e
são vetores quaisquer do
então:
Dica: desenvolva os segundos membros das igualdades acima, observando que
.
Dica: desenvolva os segundos membros das igualdades acima, observando que
Passo 1
O enunciado dá:
- Dois vetores quaisquer
e em . - A dica: desenvolver os segundos membros observando que
O que se pede: demonstrar que
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar e explicar bem o que significam os objetos que vamos usar.
- Produto interno: para
e em , o produto interno (ou produto escalar) é
Esse número mede, entre outras coisas, a “projeção” de um vetor sobre outro. Importante: o produto interno é linear em cada argumento e simétrico, ou seja,
.
- Norma: a norma associada ao produto interno é
Em particular,
.
Propriedades que usaremos (explicadas de forma simples):
- Linearidade:
e para qualquer escalar . - Simetria:
.
Com essas definições e propriedades já podemos desenvolver as expressões sugeridas.
Passo 3
Vamos desenvolver
usando a definição:
Aplicando linearidade e simetria, expandimos passo a passo:
Como
, isso fica
Passo 4
Agora desenvolvemos
da mesma forma:
Expandindo com linearidade:
Usando a simetria
, obtemos
Passo 5
Agora subtraímos as duas expressões obtidas em ordem a isolar
. Subtraindo
de
:
Dividindo ambos os lados por
segue imediatamente
que é exatamente a identidade pedida.
Passo 6
Para fixar a ideia, um exemplo rápido com números (verificação concreta): tome
e
.
-
. -
então . -
então . -
, que confere com .