Demonstre que, se x e y são vetores quaisquer do \mathbb{R}^{n} então:
Dica: desenvolva os segundos membros das igualdades acima, observando que
\|x+y\|^{2}=\langle x+y, x+y\rangle \quad \text { e } \quad\|x-y\|^{2}=\langle x-y, x-y\rangle .
\langle x, y\rangle=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá:
  • Dois vetores quaisquer x e y em \mathbb{R}^{n}.
  • A dica: desenvolver os segundos membros observando que
\|x+y\|^{2}=\langle x+y, x+y\rangle \quad\text{e}\quad \|x-y\|^{2}=\langle x-y, x-y\rangle.
O que se pede: demonstrar que
\langle x, y\rangle=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar e explicar bem o que significam os objetos que vamos usar.
  • Produto interno: para x=(x_{1},\dots,x_{n}) e y=(y_{1},\dots,y_{n}) em \mathbb{R}^{n}, o produto interno (ou produto escalar) é
\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.
Esse número mede, entre outras coisas, a “projeção” de um vetor sobre outro. Importante: o produto interno é linear em cada argumento e simétrico, ou seja, \langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle.
  • Norma: a norma associada ao produto interno é
\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.
Em particular, \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle.
Propriedades que usaremos (explicadas de forma simples):
  • Linearidade: \langle u+v,w\rangle=\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle e \langle \alpha u,w\rangle=\alpha\langle u,w\rangle para qualquer escalar \alpha.
  • Simetria: \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle.
Com essas definições e propriedades já podemos desenvolver as expressões sugeridas.

Passo 3

Vamos desenvolver \|x+y\|^{2} usando a definição:
\|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle.
Aplicando linearidade e simetria, expandimos passo a passo:
\begin{aligned} \langle x+y,x+y\rangle &=\langle x,x+y\rangle+\langle y,x+y\rangle\\\ &=\langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle. \end{aligned}
Como \langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle, isso fica
\|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle+2\langle x,y\rangle+\langle y,y\rangle.

Passo 4

Agora desenvolvemos \|x-y\|^{2} da mesma forma:
\|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle.
Expandindo com linearidade:
\begin{aligned} \langle x-y,x-y\rangle &=\langle x,x-y\rangle-\langle y,x-y\rangle\\\ &=\langle x,x\rangle-\langle x,y\rangle-\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle. \end{aligned}
Usando a simetria \langle y,x\rangle=\langle x,y\rangle, obtemos
\|x-y\|^{2}=\langle x,x\rangle-2\langle x,y\rangle+\langle y,y\rangle.

Passo 5

Agora subtraímos as duas expressões obtidas em ordem a isolar \langle x,y\rangle. Subtraindo \|x-y\|^{2} de \|x+y\|^{2}:
\begin{aligned} \|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} &=\big(\langle x,x\rangle+2\langle x,y\rangle+\langle y,y\rangle\big)-\big(\langle x,x\rangle-2\langle x,y\rangle+\langle y,y\rangle\big)\\\ &=4\langle x,y\rangle. \end{aligned}
Dividindo ambos os lados por 4 segue imediatamente
\langle x,y\rangle=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right),
que é exatamente a identidade pedida.

Passo 6

Para fixar a ideia, um exemplo rápido com números (verificação concreta): tome x=(1,2) e y=(3,4).
  • \langle x,y\rangle=1\cdot3+2\cdot4=3+8=11.
  • x+y=(4,6) então \|x+y\|^{2}=4^{2}+6^{2}=16+36=52.
  • x-y=(-2,-2) então \|x-y\|^{2}=(-2)^{2}+(-2)^{2}=4+4=8.
  • \dfrac{1}{4}\big(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\big)=\dfrac{1}{4}(52-8)=\dfrac{44}{4}=11, que confere com \langle x,y\rangle.

Resposta

\langle x, y\rangle=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)

Exercícios relacionados