Use a definição de limite para provar os seguintes itens:
, onde
Passo 1
O enunciado fornece a função
definida por
e pede para tratar o limite
Informações relevantes:
- A função
é dada explicitamente nas três componentes (peguei isso do enunciado). - O ponto para o qual
tende é . - O valor alegado como limite é
.
O que se pede (explicitamente): usar a definição de limite para provar o item indicado (ou seja, verificar se de fato).
Passo 2
Lembrete e definição (bem mastigadinho): a definição
-
de limite para funções com imagem em
.
- Dados um ponto
e um vetor , dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, para todo
com
, temos
.
- Aqui
é a norma euclidiana em ; para um vetor temos
Vou usar essa norma porque é a mais comum e funciona bem para limites em
.
Explicando em palavras: para provar que o limite é
é preciso, dado qualquer erro permitido
, encontrar uma janela
ao redor de
tal que sempre que
estiver nessa janela (mas diferente de
) o valor
esteja dentro da bola de raio
centrada em
.
Passo 3
Primeira observação direta (checagem numérica): calcule
(isto é, o valor de
no ponto para onde
tende):
Compare com o vetor proposto como limite, que o enunciado diz ser
. Esses dois vetores são diferentes. Calcule a distância entre eles:
Portanto a distância entre
e o vetor proposto
é
. Isso já levanta suspeita: para uma função linear como essa, o limite quando
costuma ser exatamente
. Vou mostrar rigorosamente o que isso implica.
Passo 4
Provar que a afirmação dada é falsa (negativa por definição): mostrar que
usando a negação da definição de limite.
Negação da definição: para provar que o limite NÃO é
basta encontrar algum
tal que, para todo
, existe
com
e
.
Escolha
Agora vou relacionar
com
. Calcule
:
Portanto, com
,
Isto é uma identidade exata para esta função linear — ótimo, números simples.
Agora, tome qualquer
. Escolha
tal que
Isso é possível sempre (basta pegar
ou semelhante). Para tal
temos
Use a desigualdade triangular (forma:
) com
,
,
:
Logo, para esse
que satisfaz
obtivemos
. Como a escolha de
foi arbitrária, concluímos que
existe (escolhida acima) tal que para todo
existe
com
e
. Isso é precisamente a negação da definição de limite; portanto
existe
Passo 5
Determinar o limite correto e prová-lo com
-
: argumento direto (a função é linear e contínua, mas farei por definição).
Queremos provar que
Seja
qualquer. A partir do cálculo do passo anterior temos, para todo
,
Escolha
Então, sempre que
segue
Isto satisfaz exatamente a definição: para todo
existe
(a escolha acima) tal que
implica
. Portanto
Passo 6
Resumo final e comentário amigo: o enunciado afirmava que o limite era
, mas isso é falso — a verificação
-
mostrou a contradição. A razão prática é que
é linear (logo contínua) e vale
, logo o limite em
é esse vetor. Se quiser, posso fazer um exercício similar com outro ponto ou explicar como generalizar isso para funções vetoriais quaisquer — digo isso porque sei que esse tipo de ajuste pode confundir quando se troca um ponto no enunciado sem querer.