Em cada um dos seguintes problemas use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada t^{2} y^{\prime \prime}+2 t y^{\prime}-2 y=0, \quad t>0 ; \quad y_{1}(t)=t
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
t^{2}y''+2t y'-2y=0,\quad t>0
e diz que já conhecemos uma solução particular \;y_{1}(t)=t.\n
A pergunta é: encontrar uma segunda solução linearmente independente de \;y_{1} (isto é, achar \;y_{2}(t) tal que \{y_{1},y_{2}\} seja um conjunto de soluções linearmente independentes).
Passo 2
Idéia do método (explicação didática e informal): vamos procurar uma solução da forma
y(t)=v(t)\,y_{1}(t),
onde v(t) é uma função desconhecida que vamos determinar. Aqui y(t) é a solução geral que depende de v, e y_{1}(t)=t é a solução já conhecida. A vantagem dessa escolha é que inserir y=v\,y_{1} na equação transforma a equação de segunda ordem numa equação de ordem menor para v (ou para v'), o que facilita a resolução.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de y(t)=v(t)\,t passo a passo, sem pular nada:
Observe que +2t v(t) e -2t v(t) se cancelam, sobrando apenas os termos com v'' e v':
t^{3}v''(t) + 4t^{2}v'(t)=0.
Passo 5
Simplificamos dividindo por t^{2} (permitido pois t>0):
t\,v''(t) + 4 v'(t)=0.
Para reduzir a ordem, fazemos a substituição w(t)=v'(t). Então w'(t)=v''(t). Substituindo na equação acima obtemos uma equação de primeira ordem para w:
t\,w'(t) + 4 w(t)=0.
Esta é uma equação linear de primeira ordem e também é separável — vamos usar separação de variáveis porque é mais direto aqui.
Passo 6
Resolver t\,w'(t) + 4 w(t)=0 por separação. Escrevendo w'=\dfrac{dw}{dt}:
t\frac{dw}{dt} + 4w = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dw}{dt} = -\frac{4}{t} w.
Agora separamos as variáveis:
\frac{1}{w}\,dw = -\frac{4}{t}\,dt.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{w}\,dw = \int -\frac{4}{t}\,dt
\ln|w| = -4\ln t + C,
onde C é constante de integração. Como t>0 podemos eliminar o valor absoluto escrevendo