Seja \vec{a}=(1,2,3) e \vec{b}=(2,3,4). Determine todos os vetores unitários ortogonais simultaneamente a \vec{a} e \vec{b}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
Vetores \vec{a}=(1,2,3) e \vec{b}=(2,3,4).
O que se pede:
Determinar todos os vetores unitários que são ortogonais, simultaneamente, a \vec{a} e a \vec{b}.
Passo 2
Primeiro, afirmar claramente o que significa "ortogonal a \vec{a} e \vec{b}". Um vetor \vec{v}=(x,y,z) é ortogonal a \vec{a} se o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{a}=0. Analogamente para \vec{b}. Assim procuramos vetores \vec{v} que satisfaçam simultaneamente
Além disso queremos que \vec{v} seja unitário, isto é \|\vec{v}\|=1.
Passo 3
Antes de resolver o sistema, verificar se \vec{a} e \vec{b} são paralelos (se fossem, a interseção dos ortogonais poderia ser um plano). Para serem paralelos deveria existir \lambda tal que \vec{b}=\lambda\vec{a}. Comparando coordenadas:
Como essas razões não são todas iguais, \vec{a} e \vec{b} não são paralelos. Isso implica que o conjunto de vetores ortogonais a ambos forma uma reta (um subespaço unidimensional) em \mathbb{R}^3.
Passo 4
Método geométrico útil: o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} produz um vetor perpendicular a ambos (em \mathbb{R}^3). Vou calcular \vec{a}\times\vec{b} usando o determinante:
Esse vetor é não nulo (o que era esperado, pois \vec{a} e \vec{b} não são paralelos) e é ortogonal a ambos.]
Passo 5
Qualquer vetor ortogonal simultaneamente a \vec{a} e \vec{b} é proporcional a \vec{a}\times\vec{b}, isto é tem a forma t\,(\,-1,2,-1) para algum escalar t. Para ser unitário precisamos de |t|\,\|\vec{a}\times\vec{b}\|=1. Calcular a norma:
Portanto |t|\,\sqrt{6}=1, logo t=\pm\dfrac{1}{\sqrt{6}}.
Passo 6
Concluir os vetores unitários procurados substituindo t:
\vec{v}=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,\,2,\,-1).
Como checagem alternativa (opcional para a prova): resolvendo o sistema linear das equações de ortogonalidade obtém-se que todo vetor ortogonal tem forma (z,-2z,z)=z(1,-2,1), que é exatamente a mesma reta gerada por ( -1,2,-1) (são múltiplos).