Seja \vec{a}=(1,2,3) e \vec{b}=(2,3,4). Determine todos os vetores unitários ortogonais simultaneamente a \vec{a} e \vec{b}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Vetores \vec{a}=(1,2,3) e \vec{b}=(2,3,4).
    O que se pede:
  • Determinar todos os vetores unitários que são ortogonais, simultaneamente, a \vec{a} e a \vec{b}.

Passo 2

Primeiro, afirmar claramente o que significa "ortogonal a \vec{a} e \vec{b}". Um vetor \vec{v}=(x,y,z) é ortogonal a \vec{a} se o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{a}=0. Analogamente para \vec{b}. Assim procuramos vetores \vec{v} que satisfaçam simultaneamente
\vec{v}\cdot\vec{a}=0,\qquad \vec{v}\cdot\vec{b}=0,
ou seja
x+2y+3z=0, \qquad 2x+3y+4z=0.
Além disso queremos que \vec{v} seja unitário, isto é \|\vec{v}\|=1.

Passo 3

Antes de resolver o sistema, verificar se \vec{a} e \vec{b} são paralelos (se fossem, a interseção dos ortogonais poderia ser um plano). Para serem paralelos deveria existir \lambda tal que \vec{b}=\lambda\vec{a}. Comparando coordenadas:
\frac{2}{1}=2,\qquad \frac{3}{2}=1{,}5,\qquad \frac{4}{3}\approx1{,}333\ldots
Como essas razões não são todas iguais, \vec{a} e \vec{b} não são paralelos. Isso implica que o conjunto de vetores ortogonais a ambos forma uma reta (um subespaço unidimensional) em \mathbb{R}^3.

Passo 4

Método geométrico útil: o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} produz um vetor perpendicular a ambos (em \mathbb{R}^3). Vou calcular \vec{a}\times\vec{b} usando o determinante:
\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[2pt] 1 & 2 & 3 \\[2pt] 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2\cdot4-3\cdot3)-\mathbf{j}(1\cdot4-3\cdot2)+\mathbf{k}(1\cdot3-2\cdot2).
Fazendo as contas:
\vec{a}\times\vec{b}= \mathbf{i}(8-9)-\mathbf{j}(4-6)+\mathbf{k}(3-4)=(-1,\,2,\,-1).
Esse vetor é não nulo (o que era esperado, pois \vec{a} e \vec{b} não são paralelos) e é ortogonal a ambos.]

Passo 5

Qualquer vetor ortogonal simultaneamente a \vec{a} e \vec{b} é proporcional a \vec{a}\times\vec{b}, isto é tem a forma t\,(\,-1,2,-1) para algum escalar t. Para ser unitário precisamos de |t|\,\|\vec{a}\times\vec{b}\|=1. Calcular a norma:
\|\vec{a}\times\vec{b}\|=\sqrt{(-1)^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}.
Portanto |t|\,\sqrt{6}=1, logo t=\pm\dfrac{1}{\sqrt{6}}.

Passo 6

Concluir os vetores unitários procurados substituindo t:
\vec{v}=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,\,2,\,-1).
Como checagem alternativa (opcional para a prova): resolvendo o sistema linear das equações de ortogonalidade obtém-se que todo vetor ortogonal tem forma (z,-2z,z)=z(1,-2,1), que é exatamente a mesma reta gerada por ( -1,2,-1) (são múltiplos).

Resposta

\displaystyle \vec{v}=\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,\,2,\,-1)
\displaystyle \vec{v}=-\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,\,2,\,-1)

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