1. Sejam \vec{u}=(1,2) e \vec{v}=(-1,1), calcular os escalares m e n tal que m \vec{u}+n \vec{v}=(1,2).

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,2) e \vec{v}=(-1,1) e pede os escalares m e n tais que a combinação linear m\vec{u}+n\vec{v} seja igual ao vetor (1,2).
Informações relevantes:
  • \vec{u}=(1,2).
  • \vec{v}=(-1,1).
  • Queremos m e n tais que m\vec{u}+n\vec{v}=(1,2).

Passo 2

Lembrete prático: igualdade entre vetores significa igualdade componente a componente. Se \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2) e \vec{a}=\vec{b}, então a_1=b_1 e a_2=b_2.
Aqui vamos aplicar isso a m\vec{u}+n\vec{v}=(1,2).

Passo 3

Escrevendo a combinação nas componentes:
m\vec{u}+n\vec{v}=m(1,2)+n(-1,1)=(m-n,\;2m+n).
Igualando componente a componente com (1,2) obtemos o sistema linear:
\begin{cases} m-n=1,\\[4pt] 2m+n=2. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema por eliminação. Somando as duas equações para eliminar n:
(m-n)+(2m+n)=1+2.
Do lado esquerdo os termos em n se cancelam e os de m somam, ficando
3m=3.

Passo 5

Dividindo por 3 obtemos m=1. Agora substituímos esse valor em uma das equações originais para encontrar n. Usando m-n=1:
1-n=1.
Isso leva a n=0. (Verificação rápida: na outra equação 2m+n=2 temos 2\cdot1+0=2, consistente.)

Resposta

m=1
n=0

Exercícios relacionados