Dados \vec{u}=(1,2), \vec{v}=(3,-1) e \vec{w}=(0,2), encontrar:
2 \vec{u}-\vec{v}+4 \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^2:
\vec{u}=(1,2),\qquad \vec{v}=(3,-1),\qquad \vec{w}=(0,2).
A pergunta é calcular a combinação linear
2\vec{u}-\vec{v}+4\vec{w}.

Passo 2

Vamos lembrar duas regras básicas sobre vetores em coordenadas (isso é essencial para fazer contas na prova):
  • Multiplicação por escalar: para um número real a e um vetor \vec{x}=(x_1,x_2), tem-se
a\vec{x}=(a x_1,\; a x_2).
Isto significa que multiplicamos cada componente do vetor pelo escalar.
  • Soma de vetores: para \vec{x}=(x_1,x_2) e \vec{y}=(y_1,y_2),
\vec{x}+\vec{y}=(x_1+y_1,\; x_2+y_2).
Ou seja, somamos componente a componente.
Usando essas duas regras conseguiremos calcular 2\vec{u}, -\vec{v}, 4\vec{w} e depois somá-los componente a componente.

Passo 3

Calcular 2\vec{u}. Aplicando multiplicação por escalar a \vec{u}=(1,2):
2\vec{u}=(2\cdot 1,\;2\cdot 2)=(2,\;4).

Passo 4

Calcular -\vec{v}. Primeiro temos \vec{v}=(3,-1), então multiplicando por -1:
-\vec{v}=(-1)\vec{v}=(-1\cdot 3,\;-1\cdot (-1))=(-3,\;1).

Passo 5

Calcular 4\vec{w}. Com \vec{w}=(0,2):
4\vec{w}=(4\cdot 0,\;4\cdot 2)=(0,\;8).

Passo 6

Agora somar os três vetores obtidos: 2\vec{u}+(-\vec{v})+4\vec{w}. Somamos componente a componente:
  • Componente x:
2 + (-3) + 0 = -1.
  • Componente y:
4 + 1 + 8 = 13.
Portanto a soma é
( -1,\; 13 ).

Resposta

(-1,13)

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