Considere as afirmativas abaixo:
I - Um conjunto LI pode gerar o espaço todo.
II - Todo subconjunto de um conjunto LI é LI.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O enunciado traz duas afirmativas:
    I - Um conjunto LI pode gerar o espaço todo.
    II - Todo subconjunto de um conjunto LI é LI.
  • Pede que identifiquemos quais afirmativas são verdadeiras e escolhemos a alternativa correta entre (A)–(E).

Passo 2

Definições essenciais (explicadas devagar, como se estivéssemos estudando junto).
  • Linearmente independente (LI): um conjunto de vetores S é dito linearmente independente se a única combinação linear que produz o vetor nulo é a combinação trivial. Formalmente: S=\{v_1,\dots,v_k\} é LI se, sempre que
a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_k v_k = 0,
então necessariamente a_1=a_2=\cdots=a_k=0. Aqui cada a_i é um escalar (número) no corpo do espaço vetorial. Explicando: nada do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  • Conjunto que gera o espaço / conjunto gerador / span: um conjunto G gera (ou “gera o espaço todo”) se todo vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear de vetores em G. Formalmente, o conjunto de todas as combinações lineares de G é o espaço inteiro.
Observação linguística importante: a palavra “pode” em I significa “é possível existir um conjunto LI que gere todo o espaço” (isto é, existe pelo menos um exemplo), não significa “todo conjunto LI gera o espaço”.

Passo 3

Analisando a afirmativa I: “Um conjunto LI pode gerar o espaço todo.”
  • Interpretando corretamente: a afirmativa afirma que é possível ter um conjunto LI que também gera (espalha) o espaço inteiro. Não diz que todo conjunto LI gera o espaço; diz apenas que um conjunto LI pode (ou seja, existe a possibilidade).
  • Exemplo concreto e simples que mostra que I é verdadeira: em \mathbb{R}^2, considere os vetores e_1=(1,0) e e_2=(0,1). O conjunto \{e_1,e_2\} é LI porque
a_1 e_1 + a_2 e_2 = 0 \Rightarrow (a_1,a_2)=(0,0),
ou seja, só a combinação trivial dá zero. Além disso, qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito como
(x,y) = x\,e_1 + y\,e_2,
portanto \{e_1,e_2\} gera \mathbb{R}^2. Assim existe (ou seja, “pode”) um conjunto LI que gera o espaço todo. Conclusão: I é verdadeira.
  • Observação adicional (para prova geral, sem exemplos): um conjunto que é simultaneamente LI e gerador é exatamente a definição de base de um espaço vetorial. Em espaços finito-dimensionais existem bases; logo existem conjuntos LI que geram o espaço. (Em espaços gerais a existência de base usa um resultado mais avançado, mas para nossos cursos normalmente trabalhamos com espaços onde isso vale.)

Passo 4

Analisando a afirmativa II: “Todo subconjunto de um conjunto LI é LI.”
  • Vou provar essa afirmação de forma formal (e bem explicada).
  • Seja S um conjunto LI e seja T um subconjunto de S, isto é, T\subseteq S. Mostraremos que T é LI.
  • Prova passo a passo: suponha que T=\{w_1,\dots,w_m\} e que exista uma combinação linear
b_1 w_1 + b_2 w_2 + \cdots + b_m w_m = 0.
Como T\subseteq S, cada w_j é também um elemento de S. Podemos então considerar a mesma combinação mas vista como combinação em S: escolher coeficientes para todos os vetores de S que sejam exatamente os b_j nas posições correspondentes aos w_j e zeros nos demais vetores de S. Como S é LI, a única maneira dessa combinação (sobre S) dar zero é todos os coeficientes serem zero. Portanto b_1=b_2=\cdots=b_m=0. Isso mostra que T é LI.
  • Intuição simples: se não há dependência linear entre os vetores de S, ao remover vetores não se cria dependência; remover elementos só facilita a independência. Por isso qualquer subconjunto de um conjunto LI permanece LI.
  • Observação sobre casos borda: o conjunto vazio e qualquer conjunto unitário (um vetor não-nulo) são LI por convenção/definição, e isso está em acordo com a prova acima.
Conclusão: II é verdadeira.

Passo 5

Resumo das conclusões:
  • I é verdadeira (existe conjunto LI que gera o espaço; exemplo: bases como \{e_1,\dots,e_n\} em \mathbb{R}^n).
  • II é verdadeira (todo subconjunto de um conjunto LI é LI; prova por extensão dos coeficientes com zeros).
Portanto ambas as afirmativas são verdadeiras.

Resposta

(C) Todas são verdadeiras.

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