Considere as afirmativas abaixo:
I - Um conjunto LI pode gerar o espaço todo.
II - Todo subconjunto de um conjunto LI é LI.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
I - Um conjunto LI pode gerar o espaço todo.
II - Todo subconjunto de um conjunto LI é LI.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- O enunciado traz duas afirmativas:
I - Um conjunto LI pode gerar o espaço todo.
II - Todo subconjunto de um conjunto LI é LI. - Pede que identifiquemos quais afirmativas são verdadeiras e escolhemos a alternativa correta entre (A)–(E).
Passo 2
Definições essenciais (explicadas devagar, como se estivéssemos estudando junto).
- Linearmente independente (LI): um conjunto de vetores
é dito linearmente independente se a única combinação linear que produz o vetor nulo é a combinação trivial. Formalmente: é LI se, sempre que
então necessariamente
. Aqui cada
é um escalar (número) no corpo do espaço vetorial. Explicando: nada do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
- Conjunto que gera o espaço / conjunto gerador / span: um conjunto
gera (ou “gera o espaço todo”) se todo vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear de vetores em . Formalmente, o conjunto de todas as combinações lineares de é o espaço inteiro.
Observação linguística importante: a palavra “pode” em I significa “é possível existir um conjunto LI que gere todo o espaço” (isto é, existe pelo menos um exemplo), não significa “todo conjunto LI gera o espaço”.
Passo 3
Analisando a afirmativa I: “Um conjunto LI pode gerar o espaço todo.”
-
Interpretando corretamente: a afirmativa afirma que é possível ter um conjunto LI que também gera (espalha) o espaço inteiro. Não diz que todo conjunto LI gera o espaço; diz apenas que um conjunto LI pode (ou seja, existe a possibilidade).
-
Exemplo concreto e simples que mostra que I é verdadeira: em
, considere os vetores e . O conjunto é LI porque
ou seja, só a combinação trivial dá zero. Além disso, qualquer vetor
pode ser escrito como
portanto
gera
. Assim existe (ou seja, “pode”) um conjunto LI que gera o espaço todo. Conclusão: I é verdadeira.
- Observação adicional (para prova geral, sem exemplos): um conjunto que é simultaneamente LI e gerador é exatamente a definição de base de um espaço vetorial. Em espaços finito-dimensionais existem bases; logo existem conjuntos LI que geram o espaço. (Em espaços gerais a existência de base usa um resultado mais avançado, mas para nossos cursos normalmente trabalhamos com espaços onde isso vale.)
Passo 4
Analisando a afirmativa II: “Todo subconjunto de um conjunto LI é LI.”
-
Vou provar essa afirmação de forma formal (e bem explicada).
-
Seja
um conjunto LI e seja um subconjunto de , isto é, . Mostraremos que é LI. -
Prova passo a passo: suponha que
e que exista uma combinação linear
Como
, cada
é também um elemento de
. Podemos então considerar a mesma combinação mas vista como combinação em
: escolher coeficientes para todos os vetores de
que sejam exatamente os
nas posições correspondentes aos
e zeros nos demais vetores de
. Como
é LI, a única maneira dessa combinação (sobre
) dar zero é todos os coeficientes serem zero. Portanto
. Isso mostra que
é LI.
-
Intuição simples: se não há dependência linear entre os vetores de
, ao remover vetores não se cria dependência; remover elementos só facilita a independência. Por isso qualquer subconjunto de um conjunto LI permanece LI. -
Observação sobre casos borda: o conjunto vazio e qualquer conjunto unitário (um vetor não-nulo) são LI por convenção/definição, e isso está em acordo com a prova acima.
Conclusão: II é verdadeira.
Passo 5
Resumo das conclusões:
- I é verdadeira (existe conjunto LI que gera o espaço; exemplo: bases como
em ). - II é verdadeira (todo subconjunto de um conjunto LI é LI; prova por extensão dos coeficientes com zeros).
Portanto ambas as afirmativas são verdadeiras.
Resposta
(C) Todas são verdadeiras.