Verifique se o vetor vec{w} é combinação linear de vec{u} e vec{v}. vec{u}=(2,-1), vec{v}=(3,2), vec{w}=\frac{1}{2}(20,11)
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que nos dá.
Pergunta: Verificar se o vetor \vec{w} é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}. Ou seja, existe algum par de escalares (números) a e b tais que \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v} ?
Dados:
\vec{u}=(2,-1).
\vec{v}=(3,2).
\vec{w}=\dfrac{1}{2}(20,11). Note que \vec{w} pode ser simplificado: \vec{w}=\left(10,\dfrac{11}{2}\right).
Passo 2
O que significa ser combinação linear (explicação didática).
Dizer que \vec{w}\) é combinação linear de \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) significa que existem dois números reais \(a\) e \(b\) tais que
\[\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}.
Aqui a e b são os coeficientes da combinação linear. Em coordenadas, se \vec{u}=(u_1,u_2), \vec{v}=(v_1,v_2) e \vec{w}=(w_1,w_2), a igualdade acima equivale ao sistema de duas equações:
\begin{cases} a u_1 + b v_1 = w_1,\\[4pt] a u_2 + b v_2 = w_2. \end{cases}
Nosso objetivo é montar esse sistema com os números dados e verificar se existe solução (a,b)\]. Se existir, \(\vec{w} é combinação linear; se não existir, não é.]
Passo 3
Montar o sistema linear com os dados específicos.
Substituindo \vec{u}=(2,-1), \vec{v}=(3,2) e \vec{w}=\left(10,\dfrac{11}{2}\right) na forma componente-a-componente, obtemos:
Esse resultado coincide com \vec{w}=\left(10,\dfrac{11}{2}\right) (lembrando que \vec{w} veio de \dfrac{1}{2}(20,11)). Logo a verificação confirma que os coeficientes estão corretos.