Verifique se o vetor vec{w} é combinação linear de vec{u} e vec{v}.
vec{u}=(2,-1), vec{v}=(3,2), vec{w}=\frac{1}{2}(20,11)

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que nos dá.
  • Pergunta: Verificar se o vetor \vec{w} é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}. Ou seja, existe algum par de escalares (números) a e b tais que \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v} ?
  • Dados:
    • \vec{u}=(2,-1).
    • \vec{v}=(3,2).
    • \vec{w}=\dfrac{1}{2}(20,11). Note que \vec{w} pode ser simplificado: \vec{w}=\left(10,\dfrac{11}{2}\right).

Passo 2

O que significa ser combinação linear (explicação didática).
  • Dizer que \vec{w}\) é combinação linear de \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) significa que existem dois números reais \(a\) e \(b\) tais que \[\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}.
  • Aqui a e b são os coeficientes da combinação linear. Em coordenadas, se \vec{u}=(u_1,u_2), \vec{v}=(v_1,v_2) e \vec{w}=(w_1,w_2), a igualdade acima equivale ao sistema de duas equações:
\begin{cases} a u_1 + b v_1 = w_1,\\[4pt] a u_2 + b v_2 = w_2. \end{cases}
  • Nosso objetivo é montar esse sistema com os números dados e verificar se existe solução (a,b)\]. Se existir, \(\vec{w} é combinação linear; se não existir, não é.]

Passo 3

Montar o sistema linear com os dados específicos.
  • Substituindo \vec{u}=(2,-1), \vec{v}=(3,2) e \vec{w}=\left(10,\dfrac{11}{2}\right) na forma componente-a-componente, obtemos:
\begin{cases} 2a + 3b = 10,\\[4pt] -1\cdot a + 2b = \dfrac{11}{2}. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema: isolar uma variável a partir de uma equação (explicando cada passo).
  • Da segunda equação temos
- a + 2b = \dfrac{11}{2}.
  • Isolando a, passo a passo:
- a = \dfrac{11}{2} - 2b
a = 2b - \dfrac{11}{2}.
(Explicação: multiplicar por -1 troca os sinais; isolamos a para substituir na outra equação.)

Passo 5

Substituir a expressão de a na primeira equação e resolver para b.
  • Substituindo a=2b-\dfrac{11}{2} em 2a+3b=10:
2\!\left(2b-\dfrac{11}{2}\right) + 3b = 10.
  • Desenvolvendo os parênteses cuidadosamente:
4b - 11 + 3b = 10.
(Expliquei: 2\cdot 2b = 4b e 2\cdot \dfrac{11}{2} = 11.)
  • Somando os termos em b:
7b - 11 = 10.
  • Isolando b:
7b = 21, \qquad\Rightarrow\qquad b = 3.

Passo 6

Voltar para achar a usando o valor de b.
  • Usando a=2b-\dfrac{11}{2} e b=3:
a = 2\cdot 3 - \dfrac{11}{2} = 6 - \dfrac{11}{2}.
  • Colocando em uma única fração:
6 = \dfrac{12}{2},\quad\text{logo}\quad a = \dfrac{12}{2} - \dfrac{11}{2} = \dfrac{1}{2}.
  • Assim encontramos a=\dfrac{1}{2} e b=3.

Passo 7

Verificação (importante na prova: sempre confira).
  • Calcular a\vec{u}+b\vec{v} com a=\dfrac{1}{2} e b=3:
\dfrac{1}{2}\vec{u}+3\vec{v} = \dfrac{1}{2}(2,-1) + 3(3,2).
  • Fazer as multiplicações escalares:
\dfrac{1}{2}(2,-1) = (1,-\tfrac{1}{2}),\qquad 3(3,2)=(9,6).
  • Somando componente a componente:
(1,-\tfrac{1}{2})+(9,6)=(10,\tfrac{11}{2}).
  • Esse resultado coincide com \vec{w}=\left(10,\dfrac{11}{2}\right) (lembrando que \vec{w} veio de \dfrac{1}{2}(20,11)). Logo a verificação confirma que os coeficientes estão corretos.

Resposta

Sim. \vec{w}=\dfrac{1}{2}\vec{u}+3\vec{v}

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