Sejam vec{u}=(-2,3), \vec{v}=(0,3) e vec{w}=(3,2) vetores.
Determine a projeção de \vec{v} sobre \overrightarrow{-w};

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(-2,3), \vec{v}=(0,3) e \vec{w}=(3,2) e pede a projeção de \vec{v} sobre \overrightarrow{-w}.
Informações relevantes:
\vec{v}=(0,3) (vetor a projetar)
\overrightarrow{-w} = -\vec{w} (vetor sobre o qual projetamos)
Objetivo: encontrar o vetor projeção de \vec{v} sobre -\vec{w}.

Passo 2

Vamos recordar a fórmula da projeção de um vetor \vec{a} sobre um vetor \vec{b}. Existem duas formas equivalentes úteis:
Forma com vetor unitário: projetar \vec{a} sobre a direção de \vec{b}
\text{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \bigl(\vec{a}\cdot\hat{b}\bigr)\hat{b},
onde \hat{b}=\dfrac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|} é o vetor unitário na direção de \vec{b} e \|\vec{b}\| é o comprimento de \vec{b}.
Forma direta (mais prática em coordenadas):
\text{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\,\vec{b}.
Aqui \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto interno (dot product) e \vec{b}\cdot\vec{b}=\|\vec{b}\|^2.
Lembrete do produto interno em \mathbb{R}^2: para \vec{p}=(p_1,p_2) e \vec{q}=(q_1,q_2),
\vec{p}\cdot\vec{q}=p_1q_1+p_2q_2.

Passo 3

Calculo explicitamente -\vec{w}. Como \vec{w}=(3,2), temos
-\vec{w}=(-3,-2).

Passo 4

Calculamos o produto interno \vec{v}\cdot(-\vec{w}). Usando \vec{v}=(0,3) e -\vec{w}=(-3,-2),
\vec{v}\cdot(-\vec{w}) = 0\cdot(-3) + 3\cdot(-2) = -6.
Expliquei: multiplica-se componente a componente e soma.

Passo 5

Calculamos (-\vec{w})\cdot(-\vec{w}), que é o quadrado da norma de -\vec{w}:
(-\vec{w})\cdot(-\vec{w}) = (-3)^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13.
Observação útil: \|-\vec{w}\|^2=\|\vec{w}\|^2, então dá o mesmo 13 que teria usado com \vec{w}.

Passo 6

Aplicamos a fórmula direta da projeção:
\text{proj}_{-\vec{w}}(\vec{v}) = \frac{\vec{v}\cdot(-\vec{w})}{(-\vec{w})\cdot(-\vec{w})}\,(-\vec{w}) = \frac{-6}{13}\,(-\vec{w}).

Passo 7

Multiplicamos o escalar \dfrac{-6}{13} pelo vetor -\vec{w}=(-3,-2):
\text{proj}_{-\vec{w}}(\vec{v}) = \frac{-6}{13}\,(-3,-2) = \left(\frac{-6}{13}\cdot(-3),\;\frac{-6}{13}\cdot(-2)\right).
Agora calcule componente a componente:
\frac{-6}{13}\cdot(-3)=\frac{18}{13},\qquad \frac{-6}{13}\cdot(-2)=\frac{12}{13}.

Passo 8

Portanto o vetor projeção é
\text{proj}_{-\vec{w}}(\vec{v})=\left(\frac{18}{13},\frac{12}{13}\right).
Como verificação rápida: projetar em \vec{w} em vez de -\vec{w} dá o mesmo resultado (a projeção ao longo da reta não depende do sinal do vetor diretor), então isso é coerente.

Resposta

\left(\frac{18}{13},\frac{12}{13}\right)

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