Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores do espaço.
a) Verifique a desigualdade de Cauchy-Schwarz:
|\langle\vec{u}, \vec{v}\rangle| \leq\|\vec{u}\|\|\vec{v}\| .
Mostre que a desigualdade de Cauchy-Schwarz torna-se uma identidade se, e somente se, os vetores \vec{u} e \vec{v} são múltiplos um do outro.
b) Prove, usando o item (a), a desigualdade triangular
\|\vec{u}+\vec{v}\| \leq\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|
Conclua que \|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\| se, e só se, \vec{u}=\overrightarrow{0}, \vec{v}=\overrightarrow{0} ou \vec{u} é um múltiplo positivo de \vec{v}.

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos provar primeiro a desigualdade de Cauchy–Schwarz em um espaço com produto interno, ou seja, mostrar que para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v} vale
|\langle\vec{u},\vec{v}\rangle|\le\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|,
e caracterizar quando ocorre igualdade (parte (a)). Em seguida, usar esse resultado para demonstrar a desigualdade triangular
\|\vec{u}+\vec{v}\|\le\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|
e identificar o caso de igualdade (parte (b)).

Passo 2

Para provar Cauchy–Schwarz, considere a função escalar
f(t)=\|\vec{u}-t\vec{v}\|^2
onde t\in\mathbb{R}. Como norma ao quadrado é sempre não negativa, temos f(t)\ge0 para todo t. Expandindo f(t) pelo produto interno:
f(t)=\langle\vec{u}-t\vec{v},\,\vec{u}-t\vec{v}\rangle =\|\vec{u}\|^2-2t\,\langle\vec{u},\vec{v}\rangle+t^2\|\vec{v}\|^2.
Isso é um polinômio quadrático em t que nunca é negativo.

Passo 3

Como f(t)=\|\vec{v}\|^2\,t^2-2\langle\vec{u},\vec{v}\rangle\,t+\|\vec{u}\|^2\ge0, seu discriminante deve ser \le0:
\Delta = \bigl(-2\langle\vec{u},\vec{v}\rangle\bigr)^2-4\,\|\vec{v}\|^2\,\|\vec{u}\|^2 =4\bigl(\langle\vec{u},\vec{v}\rangle^2-\|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2\bigr)\le0.
Logo
\langle\vec{u},\vec{v}\rangle^2\le\|\vec{u}\|^2\,\|\vec{v}\|^2,
e tomando raiz quadrada obtemos
|\langle\vec{u},\vec{v}\rangle|\le\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|.

Passo 4

Analisando igualdade em Cauchy–Schwarz, ela ocorre exatamente quando \Delta=0, ou seja,
\langle\vec{u},\vec{v}\rangle^2=\|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2.
Nesse caso, o polinômio f(t) tem raiz única e f(t)=0 para t=\dfrac{\langle\vec{u},\vec{v}\rangle}{\|\vec{v}\|^2}. Logo
\vec{u}-\frac{\langle\vec{u},\vec{v}\rangle}{\|\vec{v}\|^2}\,\vec{v}=\vec{0} \quad\Longrightarrow\quad \vec{u}=\frac{\langle\vec{u},\vec{v}\rangle}{\|\vec{v}\|^2}\,\vec{v},
isto é, \vec{u} e \vec{v} são múltiplos. Reciprocamente, se \vec{u}=\alpha\vec{v} então
|\langle\vec{u},\vec{v}\rangle| =|\alpha|\,\|\vec{v}\|^2 =\|\alpha\vec{v}\|\,\|\vec{v}\| =\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|,
ocorrendo igualdade.

Passo 5

Agora usamos Cauchy–Schwarz para provar a desigualdade triangular. Observe
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 =\langle\vec{u}+\vec{v},\vec{u}+\vec{v}\rangle =\|\vec{u}\|^2+2\langle\vec{u},\vec{v}\rangle+\|\vec{v}\|^2 \le\|\vec{u}\|^2+2\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|+\|\vec{v}\|^2 =(\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|)^2.
Tomando raiz em ambos os lados vem
\|\vec{u}+\vec{v}\|\le\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|.

Passo 6

Para ter igualdade em \|\vec{u}+\vec{v}\|=(\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|), é preciso que \langle\vec{u},\vec{v}\rangle=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|. Novamente, pela parte (a), isso acontece se e somente se \vec{u} e \vec{v} são múltiplos e o coeficiente de \vec{v} em \vec{u}=\alpha\vec{v} satisfaz \alpha\ge0 (para que o produto interno seja positivo). Além disso, triviais \vec{u}=\vec0 ou \vec{v}=\vec0 também dão igualdade.

Resposta

a) Validamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz
|\langle\vec{u},\vec{v}\rangle|\le\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|,
e mostramos que a igualdade ocorre se, e somente se, \vec{u} e \vec{v} são múltiplos um do outro.
b) Demonstramos a desigualdade triangular
\|\vec{u}+\vec{v}\|\le\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|,
e concluímos que
\|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|
se, e somente se, \vec{u}=\vec0, \vec{v}=\vec0 ou \vec{u} é um múltiplo positivo de \vec{v}.

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