Sejam \vec{u}=(1,3), \vec{v}=(-1,2) e \vec{w}=(6,-2).
a) Determine a projeção do vetor \vec{u} na direção dos vetores \vec{v} e \vec{w}.
b) Determine o vetor unitário que bissecta o ângulo \angle(\vec{u}, \vec{w}).

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec u=(1,3), \vec v=(-1,2) e \vec w=(6,-2)
e pede:
a) as projeções de \vec u nas direções de \vec v e de \vec w, usando a fórmula \displaystyle \mathrm{proj}_{\vec a}\vec b=\frac{\vec b\cdot\vec a}{\vec a\cdot\vec a}\,\vec a.
b) o vetor unitário que bisseta o ângulo \angle(\vec u,\vec w), usando a soma de vetores unitários e depois normalizando.

Passo 2

Calcular \mathrm{proj}_{\vec v}\vec u. Primeiro os produtos escalar e norma ao quadrado de \vec v: \vec u\cdot\vec v = 1\cdot(-1)+3\cdot2 = 5, \vec v\cdot\vec v = (-1)^2+2^2 = 5.
Portanto,
\mathrm{proj}_{\vec v}\vec u = \frac{\vec u\cdot\vec v}{\vec v\cdot\vec v}\,\vec v = \frac{5}{5}\,(-1,2) = (-1,2).

Passo 3

Calcular \mathrm{proj}_{\vec w}\vec u. \vec u\cdot\vec w = 1\cdot6 + 3\cdot(-2) = 0, \vec w\cdot\vec w = 6^2+(-2)^2 = 40.
Logo,
\mathrm{proj}_{\vec w}\vec u = \frac{0}{40}\,\vec w = (0,0).

Passo 4

Para o bissetor, obtenha primeiro os vetores unitários \hat u = \vec u/\|\vec u\| e \hat w = \vec w/\|\vec w\|.
Como \|\vec u\|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10} e \|\vec w\|=\sqrt{6^2+(-2)^2}=2\sqrt{10}, temos
\hat u = \Bigl(\tfrac1{\sqrt{10}},\tfrac3{\sqrt{10}}\Bigr), \quad \hat w = \Bigl(\tfrac6{2\sqrt{10}},\tfrac{-2}{2\sqrt{10}}\Bigr) = \Bigl(\tfrac3{\sqrt{10}},-\tfrac1{\sqrt{10}}\Bigr).

Passo 5

Some os dois vetores unitários para obter a direção do bissetor:
\hat u + \hat w = \Bigl(\tfrac1{\sqrt{10}}+\tfrac3{\sqrt{10}},\,\tfrac3{\sqrt{10}}-\tfrac1{\sqrt{10}}\Bigr) = \Bigl(\tfrac4{\sqrt{10}},\tfrac2{\sqrt{10}}\Bigr).

Passo 6

Normalize esse resultado. A norma de \bigl(\tfrac4{\sqrt{10}},\tfrac2{\sqrt{10}}\bigr) é
\sqrt{\Bigl(\tfrac4{\sqrt{10}}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac2{\sqrt{10}}\Bigr)^2} = \sqrt{\frac{16+4}{10}} = \sqrt2.
Dividindo pelo fator \sqrt2, o vetor unitário bissetor é
\Bigl(\tfrac4{\sqrt{10}},\tfrac2{\sqrt{10}}\Bigr)\cdot\tfrac1{\sqrt2} = \Bigl(\tfrac{4}{\sqrt{20}},\tfrac{2}{\sqrt{20}}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},\tfrac{1}{\sqrt5}\Bigr).

Resposta

a) \mathrm{proj}_{\vec v}\vec u =(-1,2), \mathrm{proj}_{\vec w}\vec u =(0,0).
b) O vetor unitário que bisseta \angle(\vec u,\vec w) é \bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},\,\tfrac{1}{\sqrt5}\bigr).

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