Sejam
\vec{v} um vetor constante, \varphi(x, y, z) um campo escalar, e \vec{A}(x, y, z) e \vec{B}(x, y, z) campos vetoriais. Calcule e interprete fisicamente, quando aplicável:
O produto escalar do vetor constante com o gradiente do campo escalar: \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \varphi)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Dados:
    • \vec{v} é um vetor constante (tem componentes \,v_x, v_y, v_z, no sistema cartesiano).
    • \varphi(x,y,z) é um campo escalar (uma função scalar que depende das coordenadas x,y,z).
    • Também foram mencionados \vec{A} e \vec{B}, mas nesta pergunta específica só se quer calcular e interpretar \vec{v}\cdot\vec{\nabla}\varphi.
  • Pedido:
    • Calcular o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{\nabla}\varphi.
    • Interpretar fisicamente esse resultado, quando aplicável.

Passo 2

Definições e notação (explicação didática do que é cada símbolo):
  • O operador gradiente \vec{\nabla} aplicado ao escalar \varphi produz o vetor gradiente
\vec{\nabla}\varphi=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\;\frac{\partial\varphi}{\partial y},\;\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right).
  • Aqui \dfrac{\partial\varphi}{\partial x} significa a derivada parcial de \varphi em relação a x, mantendo y,z fixos, etc.
  • Intuição física: \vec{\nabla}\varphi aponta na direção de maior aumento de \varphi e seu módulo |\vec{\nabla}\varphi| é a taxa de aumento por unidade de comprimento nessa direção.
  • O vetor constante \vec{v} tem componentes
\vec{v}=(v_x,v_y,v_z).
  • Esses v_x,v_y,v_z são números fixos (constantes) neste problema.

Passo 3

Cálculo direto do produto escalar em componentes:
  • Pelo produto escalar entre vetores em coordenadas cartesianas,
\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\varphi = v_x\frac{\partial\varphi}{\partial x}+v_y\frac{\partial\varphi}{\partial y}+v_z\frac{\partial\varphi}{\partial z}.
  • Esta é a expressão explícita pedida: soma das componentes do vetor multiplicadas pelas derivadas parciais correspondentes.

Passo 4

Interpretação como derivada direcional (explicação passo a passo e prova simples):
  • Considere a parametrização de uma curva reta passando por um ponto \vec{r}_0=(x_0,y_0,z_0) com “velocidade” constante \vec{v}:
\vec{r}(t)=\vec{r}_0+t\,\vec{v}.
  • A derivada temporal de \varphi ao longo dessa curva é, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\varphi(\vec{r}(t)) = \frac{\partial\varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\frac{dz}{dt}.
  • Como \dfrac{dx}{dt}=v_x, \dfrac{dy}{dt}=v_y, \dfrac{dz}{dt}=v_z, obtemos, no instante t=0 ou em qualquer t,
\frac{d}{dt}\varphi(\vec{r}(t))=\;v_x\frac{\partial\varphi}{\partial x}+v_y\frac{\partial\varphi}{\partial y}+v_z\frac{\partial\varphi}{\partial z} =\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\varphi.
  • Conclusão: \vec{v}\cdot\vec{\nabla}\varphi é a taxa de variação de \varphi quando se move na direção e com a velocidade (ou parâmetro) \vec{v}. Em outras palavras, é a derivada direcional de \varphi na direção \vec{v}; se \vec{u}=\dfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|} é o vetor unitário nessa direção, então
\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\varphi=|\vec{v}|\left(\vec{u}\cdot\vec{\nabla}\varphi\right),
onde \vec{u}\cdot\vec{\nabla}\varphi é a variação por unidade de comprimento e o fator |\vec{v}| converte para variação por unidade do parâmetro t (por exemplo por unidade de tempo se \vec{v} for uma velocidade).

Passo 5

Interpretações físicas típicas (com linguagem amistosa):
  • Se \varphi for temperatura T(x,y,z) e \vec{v} for a velocidade de uma partícula fluida, então \vec{v}\cdot\vec{\nabla}T é a contribuição advectiva à taxa de variação da temperatura sentida pela partícula (é o termo convectivo que aparece em muitas equações de transporte).
  • Se \vec{v} for tangente a uma superfície de nível de \varphi (ou seja, \vec{v} é ortogonal a \vec{\nabla}\varphi), então \vec{v}\cdot\vec{\nabla}\varphi=0: movendo-se ao longo da superfície de nível, \varphi não muda (ex.: mover-se ao longo de uma isoterma mantém a mesma temperatura).
  • Se \vec{v} estiver exatamente na direção do gradiente, então \vec{v}\cdot\vec{\nabla}\varphi=|\vec{v}|\,|\vec{\nabla}\varphi|, ou seja, atinge-se a máxima taxa de aumento de \varphi para aquele módulo de \vec{v}.

Passo 6

Exemplo numérico bem simples (para “ver” a conta):
  • Seja \varphi(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 e \vec{v}=(1,2,0).
  • Primeiro calcule o gradiente:
\vec{\nabla}\varphi=(2x,2y,2z).
  • Então o produto escalar é
\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\varphi =1\cdot(2x)+2\cdot(2y)+0\cdot(2z)=2x+4y.
  • Interpretação: num ponto (x,y,z) a taxa de variação de \varphi ao se mover na direção (1,2,0) é 2x+4y. Por exemplo em (1,1,0) isso vale 2+4=6.

Passo 7

Observações finais e dicas para prova (calma, você consegue):
  • Em provas, se pedirem \vec{v}\cdot\vec{\nabla}\varphi, escreva diretamente em componentes e, se for pedido interpretar, diga que é a derivada direcional/advectiva como demonstrado. Se \vec{v} for unitário, mencione que é a variação por unidade de comprimento; se \vec{v} for velocidade, mencione variação por unidade de tempo.
  • Lembre que se \vec{v} for constante a demonstração via regra da cadeia é curta e segura: \dfrac{d}{dt}\varphi(\vec{r}_0+t\vec{v})\big|_{t=0}=\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\varphi(\vec{r}_0).

Resposta

\displaystyle \vec{v}\cdot\vec{\nabla}\varphi = v_x\frac{\partial\varphi}{\partial x}+v_y\frac{\partial\varphi}{\partial y}+v_z\frac{\partial\varphi}{\partial z}.
Interpretação: é a derivada direcional de \varphi na direção de \vec{v}; geometricamente, mede a taxa de variação de \varphi ao mover-se com velocidade (ou parâmetro) \vec{v} — em física aparece como termo advectivo (por exemplo \vec{v}\cdot\vec{\nabla}T para transporte de temperatura).

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