Sejam
\vec{v} um vetor constante, \varphi(x, y, z) um campo escalar, e \vec{A}(x, y, z) e \vec{B}(x, y, z) campos vetoriais. Calcule e interprete fisicamente, quando aplicável:
O rotacional do produto vetorial: \vec{\nabla} \wedge(\vec{A} \wedge \vec{B})

Passo 1

O enunciado pede explicitamente para calcular o rotacional do produto vetorial entre dois campos vetoriais e interpretar fisicamente quando aplicável. As informações dadas são:
  • Existem dois campos vetoriais \vec{A}(x,y,z) e \vec{B}(x,y,z).
  • A operação a calcular é o rotacional de \vec{A}\wedge\vec{B}, ou seja \vec{\nabla}\wedge(\vec{A}\wedge\vec{B}).
O que se pede:
  • Encontrar uma expressão explícita e geral para \vec{\nabla}\wedge(\vec{A}\wedge\vec{B}).
  • Explicar o significado dos termos que aparecem e dar interpretações físicas e exemplos especiais (quando aplicável).

Passo 2

Vamos recordar definições e notação importantes (explicando devagar, do zero):
  • O rotacional (curl) de um campo vetorial \vec{F} é o vetor \vec{\nabla}\wedge\vec{F} cujas componentes em notação indicial são
(\vec{\nabla}\wedge\vec{F})_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j F_k,
onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita e \partial_j significa \dfrac{\partial}{\partial x_j}.
  • A divergência (div) de \vec{F} é
\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\partial_i F_i.
  • O produto vetorial \vec{A}\wedge\vec{B} tem componentes
(\vec{A}\wedge\vec{B})_i=\varepsilon_{ijk}A_j B_k.
  • O operador direcional (\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A} é um vetor cujas componentes são
\big((\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A}\big)_i = B_j \partial_j A_i,
ou seja, deriva cada componente de \vec{A} na direção dada por \vec{B}. É importante entender esse termo: ele representa como \vec{A} muda ao longo das linhas paralelas a \vec{B}.
  • Outro termo análogo é (\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B} com componentes A_j\partial_j B_i.
Com essas ferramentas, podemos derivar a identidade pedida. Vou usar a notação indicial porque torna a derivação mecânica e sem ambiguidades; depois volto à notação vetorial e interpreto.

Passo 3

Derivação usando notação indicial (passo a passo sem pular contas).
Começamos escrevendo a componente i-ésima do rotacional de \vec{A}\wedge\vec{B}:
(\vec{\nabla}\wedge(\vec{A}\wedge\vec{B}))_i = \varepsilon_{ijk}\,\partial_j\big((\vec{A}\wedge\vec{B})_k\big).
Substituindo a definição do produto vetorial:
(\vec{\nabla}\wedge(\vec{A}\wedge\vec{B}))_i = \varepsilon_{ijk}\,\partial_j\big(\varepsilon_{klm}A_l B_m\big).
Agora usamos a identidade do produto de dois símbolos de Levi-Civita:
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl},
onde \delta_{pq} é o delta de Kronecker. Aplicando essa identidade antes de expandir a derivada, obtemos
(\vec{\nabla}\wedge(\vec{A}\wedge\vec{B}))_i = (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\,\partial_j(A_l B_m).
Agora expandimos \partial_j(A_l B_m) usando a regra do produto:
\partial_j(A_l B_m) = (\partial_j A_l)\,B_m + A_l\,(\partial_j B_m).
Substituindo:
\begin{aligned} (\vec{\nabla}\wedge(\vec{A}\wedge\vec{B}))_i &= (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\big[(\partial_j A_l)\,B_m + A_l\,(\partial_j B_m)\big] \\\ &= (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})(\partial_j A_l)\,B_m + (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})A_l\,(\partial_j B_m). \end{aligned}
Vamos tratar os dois blocos separadamente.
Primeiro bloco:
(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})(\partial_j A_l)\,B_m = (\partial_j A_i)\,B_j - (\partial_j A_j)\,B_i.
Porque \delta_{il} substitui l por i e \delta_{jm} substitui m por j; e o segundo termo dá igual substituição.
Segundo bloco:
(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})A_l\,(\partial_j B_m) = A_i\,(\partial_j B_j) - (A_j\,\partial_j B_i).
Somando os dois blocos:
\begin{aligned} (\vec{\nabla}\wedge(\vec{A}\wedge\vec{B}))_i &= \big[(\partial_j A_i)B_j - (\partial_j A_j)B_i\big] + \big[A_i(\partial_j B_j) - A_j(\partial_j B_i)\big] \\\ &= (B_j\partial_j A_i) - B_i(\partial_j A_j) + A_i(\partial_j B_j) - (A_j\partial_j B_i). \end{aligned}
Reconhecendo as notações vetoriais:
\begin{aligned} B_j\partial_j A_i &= \big((\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A}\big)_i,\\\ A_j\partial_j B_i &= \big((\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}\big)_i,\\\ \partial_j A_j &= \vec{\nabla}\cdot\vec{A},\qquad \partial_j B_j = \vec{\nabla}\cdot\vec{B}. \end{aligned}

Passo 4

Escrevendo o resultado em forma vetorial (juntando as componentes):
\boxed{\displaystyle \vec{\nabla}\wedge(\vec{A}\wedge\vec{B}) = \vec{A}\,(\vec{\nabla}\cdot\vec{B}) - \vec{B}\,(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}) + (\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A} - (\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B} }
Esta é a identidade procurada. Cada termo tem significado claro:
  • \vec{A}\,(\vec{\nabla}\cdot\vec{B}) e -\vec{B}\,(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}) são termos proporcionais às divergências de \vec{B} e \vec{A}, multiplicando os vetores \vec{A} e \vec{B} respectivamente.
  • (\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A} e -(\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B} são termos de derivada direcional (ou advectiva): eles dizem como \vec{A} muda ao longo de \vec{B} e como \vec{B} muda ao longo de \vec{A}.

Passo 5

Interpretação física e casos especiais (isso ajuda a saber aplicar a identidade na prova):
  1. Caso \vec{A} constante (por exemplo \vec{A}=\vec{v} constante no espaço):
  • Então \vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0 e (\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}=(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{B} enquanto (\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A}=0 porque derivadas de \vec{A} são zero.
  • A identidade reduz-se a
\vec{\nabla}\wedge(\vec{v}\wedge\vec{B}) = \vec{v}\,(\vec{\nabla}\cdot\vec{B}) - (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}.
Esse caso é muito usado em eletromagnetismo e mecânica de fluidos quando se tem um vetor constante interagindo com um campo.
  1. Caso \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 (campo solenoidal, por exemplo campo magnético \vec{B} em eletromagnetismo):
  • A identidade fica
\vec{\nabla}\wedge(\vec{A}\wedge\vec{B}) = - \vec{B}\,(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}) + (\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A} - (\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}.
  • Se além disso \vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0 (os dois campos divergência-nulos), então
\vec{\nabla}\wedge(\vec{A}\wedge\vec{B}) = (\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A} - (\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B},
que é usado frequentemente em magnetohidrodinâmica: ele mostra que o curl do produto cruzado é a diferença entre as derivações advectivas — interpreta-se como “estiramento” e “advecção” das linhas de campo.
  1. Caso \vec{A}=\vec{\nabla}\varphi (gradiente de um escalar \varphi):
  • Então \vec{\nabla}\wedge(\vec{\nabla}\varphi\wedge\vec{B}) pode ser escrito usando a identidade com \vec{A}=\vec{\nabla}\varphi. Esse caso aparece em certos contextos de potenciais e fluxos; os termos \vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\nabla^2\varphi e (\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}=(\nabla\varphi\cdot\vec{\nabla})\vec{B} surgirão explicitamente.

Passo 6

Exemplo numérico/ilexplicativo rápido (para treinar a aplicação na prova):
  • Suponha \vec{v}=(v_x,0,0) constante e \vec{B}=(0,B_y(x),0) dependente apenas de x. Então \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 (se \partial_x B_x+\partial_y B_y+\partial_z B_z=0 e só existe B_y função de x, então \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0). Aplicando a fórmula reduzida do caso 1:
\vec{\nabla}\wedge(\vec{v}\wedge\vec{B}) = -(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{B} = -v_x\frac{\partial}{\partial x}(0,B_y(x),0) = -v_x\big(0,B_y'(x),0\big).
Ou seja, o rotacional aponta na mesma direção de \vec{B} (aqui no eixo y), com magnitude proporcional à variação espacial de B_y ao longo de x e à componente v_x.

Passo 7

Resumo intuitivo (para levar pra prova):
  • A identidade é, na prática, a “regra do produto” para o operador rotacional aplicado a um produto cruzado.
  • Termos do tipo \vec{A}(\vec{\nabla}\cdot\vec{B}) dizem que divergência de um campo gera contribuição paralela ao outro campo.
  • Termos do tipo (\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A} são advectivos: como \vec{A} muda ao longo das linhas dadas por \vec{B}.
  • Em muitos problemas físicos (por exemplo magnetismo) \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0, o que simplifica bastante a identidade.

Resposta

\displaystyle \vec{\nabla}\wedge(\vec{A}\wedge\vec{B})=\vec{A}\,(\vec{\nabla}\cdot\vec{B})-\vec{B}\,(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})+(\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A}-(\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}

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