Sejam
um vetor constante,
um campo escalar, e
e
campos vetoriais. Calcule e interprete fisicamente, quando aplicável:
rotacional do produto vetorial:
Passo 1
O enunciado pede explicitamente para calcular o rotacional do produto vetorial entre dois campos vetoriais e interpretar fisicamente quando aplicável. As informações dadas são:
- Existem dois campos vetoriais
e . - A operação a calcular é o rotacional de
, ou seja .
O que se pede:
- Encontrar uma expressão explícita e geral para
. - Explicar o significado dos termos que aparecem e dar interpretações físicas e exemplos especiais (quando aplicável).
Passo 2
Vamos recordar definições e notação importantes (explicando devagar, do zero):
- O rotacional (curl) de um campo vetorial
é o vetor cujas componentes em notação indicial são
onde
é o símbolo de Levi-Civita e
significa
.
- A divergência (div) de
é
- O produto vetorial
tem componentes
- O operador direcional
é um vetor cujas componentes são
ou seja, deriva cada componente de
na direção dada por
. É importante entender esse termo: ele representa como
muda ao longo das linhas paralelas a
.
- Outro termo análogo é
com componentes .
Com essas ferramentas, podemos derivar a identidade pedida. Vou usar a notação indicial porque torna a derivação mecânica e sem ambiguidades; depois volto à notação vetorial e interpreto.
Passo 3
Derivação usando notação indicial (passo a passo sem pular contas).
Começamos escrevendo a componente
-ésima do rotacional de
:
Substituindo a definição do produto vetorial:
Agora usamos a identidade do produto de dois símbolos de Levi-Civita:
onde
é o delta de Kronecker. Aplicando essa identidade antes de expandir a derivada, obtemos
Agora expandimos
usando a regra do produto:
Substituindo:
Vamos tratar os dois blocos separadamente.
Primeiro bloco:
Porque
substitui
por
e
substitui
por
; e o segundo termo dá igual substituição.
Segundo bloco:
Somando os dois blocos:
Reconhecendo as notações vetoriais:
Passo 4
Escrevendo o resultado em forma vetorial (juntando as componentes):
Esta é a identidade procurada. Cada termo tem significado claro:
-
e são termos proporcionais às divergências de e , multiplicando os vetores e respectivamente. -
e são termos de derivada direcional (ou advectiva): eles dizem como muda ao longo de e como muda ao longo de .
Passo 5
Interpretação física e casos especiais (isso ajuda a saber aplicar a identidade na prova):
- Caso
constante (por exemplo constante no espaço):
- Então
e enquanto porque derivadas de são zero. - A identidade reduz-se a
Esse caso é muito usado em eletromagnetismo e mecânica de fluidos quando se tem um vetor constante interagindo com um campo.
- Caso
(campo solenoidal, por exemplo campo magnético em eletromagnetismo):
- A identidade fica
- Se além disso
(os dois campos divergência-nulos), então
que é usado frequentemente em magnetohidrodinâmica: ele mostra que o curl do produto cruzado é a diferença entre as derivações advectivas — interpreta-se como “estiramento” e “advecção” das linhas de campo.
- Caso
(gradiente de um escalar ):
- Então
pode ser escrito usando a identidade com . Esse caso aparece em certos contextos de potenciais e fluxos; os termos e surgirão explicitamente.
Passo 6
Exemplo numérico/ilexplicativo rápido (para treinar a aplicação na prova):
- Suponha
constante e dependente apenas de . Então (se e só existe função de , então ). Aplicando a fórmula reduzida do caso 1:
Ou seja, o rotacional aponta na mesma direção de
(aqui no eixo
), com magnitude proporcional à variação espacial de
ao longo de
e à componente
.
Passo 7
Resumo intuitivo (para levar pra prova):
- A identidade é, na prática, a “regra do produto” para o operador rotacional aplicado a um produto cruzado.
- Termos do tipo
dizem que divergência de um campo gera contribuição paralela ao outro campo. - Termos do tipo
são advectivos: como muda ao longo das linhas dadas por . - Em muitos problemas físicos (por exemplo magnetismo)
, o que simplifica bastante a identidade.