Questão 02. Verifique se os pontos são colineares: A(4,1), B(2,7) e C(10,14)
Passo 1
O enunciado dá três pontos no plano e pede para verificar se eles são colineares. Os dados são:
A(4,1)
B(2,7)
C(10,14)
O que se pede: determinar se A, B e C estão sobre a mesma reta (ou seja, se são colineares).
Passo 2
Escolho usar o teste das inclinações (declives) porque é um método simples, direto e que costuma aparecer nas provas: três pontos são colineares se, ao tomar um ponto em comum, as inclinações das retas que ligam esse ponto aos outros dois forem iguais. Também existe o teste por vetores ou pela área do triângulo, que são equivalentes; posso checar com um segundo método se quiser maior segurança.
Passo 3
Definição e fórmula da inclinação (declive). Dada uma reta que passa por dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), a inclinação m é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Essa razão representa o “subir” dividido pelo “andar” (rise over run). Observação importante: se x_2-x_1=0 a reta é vertical e a inclinação é indefinida; nesse caso compara-se verticalidade dos segmentos.
Passo 4
Calcular a inclinação da reta que passa por A e B. Usando A(4,1) e B(2,7):
y_B-y_A=7-1=6,
x_B-x_A=2-4=-2,
m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{6}{-2}=-3.
Passo 5
Calcular a inclinação da reta que passa por A e C. Usando A(4,1) e C(10,14):
Como m_{AB}\neq m_{AC}, as retas AB e AC têm inclinações diferentes, portanto os três pontos não estão sobre a mesma reta.
Passo 7
Verificação alternativa por vetores (cheque extra, para ficar mais seguro). Formar os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A)=(-2,\;6),
\overrightarrow{AC}=(x_C-x_A,\;y_C-y_A)=(6,\;13).
Se fossem colineares, um vetor seria múltiplo escalar do outro: existir k tal que (-2)k=6 e 6k=13. Da primeira equação segue k=-3, mas substituindo na segunda obteríamos 6\cdot(-3)=-18\neq13. Logo não existe tal k e os vetores não são colineares, confirmando que os pontos não são colineares.
Passo 8
Conclusão final e interpretação simples: os segmentos AB e AC têm declives diferentes, então não há uma única reta que passe por A, B e C. Em outras palavras, os três pontos formam um triângulo de área não nula (não estão alinhados). Vai dar tudo certo na prova — mandou bem pedindo a resolução passo a passo!
Resposta
Não, os pontos A(4,1), B(2,7) e C(10,14) não são colineares.