Questão 02. Verifique se os pontos são colineares:
A(3,-2,8), B(0,0,2) e C(-3,-5,10)

Passo 1

O enunciado fornece três pontos no espaço e pede para verificar se são colineares. Dados:
  • A(3,-2,8)
  • B(0,0,2)
  • C(-3,-5,10)
O que se pede: determinar se os três pontos estão sobre uma mesma reta (ou seja, se são colineares).

Passo 2

Ideia/condição usada (explicação didática): três pontos A,B,C são colineares se e somente se os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são paralelos.
Duas maneiras básicas de testar paralelismo de vetores em \mathbb{R}^3:
  1. Verificar se existe um escalar k tal que \overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{AC}. Isso dá três equações (uma por componente) que devem ser compatíveis com o mesmo k.
  2. Ou calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}; se for o vetor nulo, os vetores são paralelos.
    Vou usar o método 1 (checar múltiplo escalar) porque é o mais direto e elementar; depois faço uma checagem com o produto vetorial para confirmar.

Passo 3

Calcular \overrightarrow{AB} componente a componente usando a definição \overrightarrow{AB}=B-A:
\overrightarrow{AB}=(0-3,\;0-(-2),\;2-8).
Agora simplificando cada componente:
\overrightarrow{AB}=(-3,\;2,\;-6).

Passo 4

Calcular \overrightarrow{AC} componente a componente usando \overrightarrow{AC}=C-A:
\overrightarrow{AC}=(-3-3,\;-5-(-2),\;10-8).
Agora simplificando cada componente:
\overrightarrow{AC}=(-6,\;-3,\;2).

Passo 5

Testar se existe k tal que \overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{AC}. Isso gera as equações componente a componente:
-3 = k(-6),\qquad 2 = k(-3),\qquad -6 = k(2).
Resolver cada uma para k:
  • Da primeira: k=\dfrac{-3}{-6}=\dfrac{1}{2}.
  • Da segunda: k=\dfrac{2}{-3}=-\dfrac{2}{3}.
  • Da terceira: k=\dfrac{-6}{2}=-3.
Os três valores de k são diferentes ( \tfrac{1}{2}, -\tfrac{2}{3}, -3), portanto NÃO existe um único escalar k que satisfaça todas as componentes. Conclusão parcial: \overrightarrow{AB} não é múltiplo escalar de \overrightarrow{AC}.

Passo 6

Checagem alternativa (produto vetorial) para confirmar: calcular \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Usando a fórmula
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(\;AB_y AC_z-AB_z AC_y,\; AB_z AC_x-AB_x AC_z,\; AB_x AC_y-AB_y AC_x\;).
Substituindo \overrightarrow{AB}=(-3,2,-6) e \overrightarrow{AC}=(-6,-3,2):
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2\cdot 2-(-6)\cdot(-3),\;(-6)\cdot(-6)-(-3)\cdot 2,\;(-3)\cdot(-3)-2\cdot(-6)).
Calculando cada componente:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= (4-18,\;36-(-6),\;9-(-12)).
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-14,\;42,\;21).
Esse vetor não é o vetor nulo (tem componentes diferentes de zero), logo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são paralelos. Isso confirma a conclusão do passo anterior.

Passo 7

Interpretação final dos resultados: como \overrightarrow{AB} não é múltiplo escalar de \overrightarrow{AC} (e o produto vetorial é diferente de zero), os vetores não são paralelos. Portanto os três pontos não estão na mesma reta.

Resposta

Os pontos A(3,-2,8), B(0,0,2) e C(-3,-5,10) não são colineares.

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