Sejam
e
vetores tais que
e
. Para cada valor de
listado abaixo, onde
representa o ângulo formado entre os vetores
e
, calcule o produto escalar
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Os vetores
e têm módulos e . - O ângulo entre eles é
.
O que é pedido:
- Calcular o produto escalar
para esse valor de .
Passo 2
Fórmula que vou usar (definição geométrica do produto escalar):
Explicando cada símbolo:
-
é o produto escalar (ou interno) entre os vetores e . -
é o módulo (comprimento) do vetor . -
é o módulo do vetor . -
é o ângulo formado entre os dois vetores.
Intuição curta e útil: o produto escalar mede quanto de um vetor “aponta” na direção do outro; se projetasobre a direção de e multiplica pela magnitude de .
Passo 3
Calcular
para
.
No círculo trigonométrico, . Em palavras: um ângulo zero significa vetores na mesma direção, então a projeção é total.
No círculo trigonométrico,
Passo 4
Agora substituo os valores na fórmula:
Como
, fica
Passo 5
Faço a multiplicação simples:
Interpretação rápida e motivadora: o resultado positivo e igual ao produto dos módulos significa que
e
são paralelos e apontam na mesma direção (ângulo zero). Isso é algo que cai bastante em prova — decorar a fórmula e lembrar casos particulares (
,
,
) ajuda a responder rápido.