Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores tais que |\vec{u}|=2 e |\vec{v}|=3. Para cada valor de \theta listado abaixo, onde \theta representa o ângulo formado entre os vetores \vec{u} e \vec{v}, calcule o produto escalar \vec{u} \cdot \vec{v}.
\theta=0^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Os vetores \vec{u} e \vec{v} têm módulos |\vec{u}|=2 e |\vec{v}|=3.
  • O ângulo entre eles é \theta=0^\circ.
O que é pedido:
  • Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} para esse valor de \theta.

Passo 2

Fórmula que vou usar (definição geométrica do produto escalar):
\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\;|\vec{v}|\cos\theta.
Explicando cada símbolo:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar (ou interno) entre os vetores \vec{u} e \vec{v}.
  • |\vec{u}| é o módulo (comprimento) do vetor \vec{u}.
  • |\vec{v}| é o módulo do vetor \vec{v}.
  • \theta é o ângulo formado entre os dois vetores.
    Intuição curta e útil: o produto escalar mede quanto de um vetor “aponta” na direção do outro; se projeta \vec{u} sobre a direção de \vec{v} e multiplica pela magnitude de \vec{v}.

Passo 3

Calcular \cos\theta para \theta=0^\circ.
No círculo trigonométrico, \cos 0^\circ = 1. Em palavras: um ângulo zero significa vetores na mesma direção, então a projeção é total.

Passo 4

Agora substituo os valores na fórmula:
\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\;|\vec{v}|\cos\theta = 2\cdot 3\cdot \cos 0^\circ.
Como \cos 0^\circ=1, fica
\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot 3\cdot 1.

Passo 5

Faço a multiplicação simples:
\vec{u}\cdot\vec{v}=6.
Interpretação rápida e motivadora: o resultado positivo e igual ao produto dos módulos significa que \vec{u} e \vec{v} são paralelos e apontam na mesma direção (ângulo zero). Isso é algo que cai bastante em prova — decorar a fórmula e lembrar casos particulares ( \cos0^\circ=1, \cos90^\circ=0, \cos180^\circ=-1) ajuda a responder rápido.

Resposta

\;6\;

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