Sejam \vec{u}=3 \widehat{i}-2 \widehat{j}+\widehat{k}, \vec{v}=\widehat{i}+2 \widehat{j}-3 \widehat{k}, \vec{w}=-\widehat{i}+\widehat{j}+2 \widehat{k}. Determine a relação entre \alpha e \beta de modo que tenhamos \alpha \vec{u}+\beta \vec{v} perpendicular a \vec{w}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede uma relação entre \alpha e \beta tal que \alpha \vec{u} + \beta \vec{v} seja perpendicular a \vec{w}.
Dados fornecidos:
\vec{u}=3\widehat{i}-2\widehat{j}+\widehat{k},\qquad \vec{v}=\widehat{i}+2\widehat{j}-3\widehat{k},\qquad \vec{w}=-\widehat{i}+\widehat{j}+2\widehat{k}.
O que se pede:
  • Encontrar a relação entre \alpha e \beta tal que \alpha \vec{u}+\beta \vec{v} seja perpendicular a \vec{w}.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): dois vetores em \mathbb{R}^3 são perpendiculares quando o produto escalar (dot product) entre eles é zero. Para vetores
\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\qquad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aqui, a condição de perpendicularidade será simplesmente:
(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v})\cdot\vec{w}=0.

Passo 3

Vou reescrever os vetores em componentes (isso facilita calcular o produto escalar):
\vec{u}=(3,-2,1),\qquad \vec{v}=(1,2,-3),\qquad \vec{w}=(-1,1,2).
A combinação linear tem componentes:
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=(3\alpha+\beta,\;-2\alpha+2\beta,\;\alpha-3\beta).

Passo 4

Agora aplico a condição de perpendicularidade usando o produto escalar:
(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v})\cdot\vec{w}=0.
Substituindo as componentes:
(3\alpha+\beta)(-1)+(-2\alpha+2\beta)(1)+(\alpha-3\beta)(2)=0.

Passo 5

Calculo termo a termo e simplifico passo a passo:
Primeiro termo:
(3\alpha+\beta)(-1)=-3\alpha-\beta.
Segundo termo:
(-2\alpha+2\beta)(1)=-2\alpha+2\beta.
Terceiro termo:
(\alpha-3\beta)(2)=2\alpha-6\beta.
Somando todos:
-3\alpha-\beta-2\alpha+2\beta+2\alpha-6\beta.

Passo 6

Agrupando os coeficientes de \alpha e de \beta:
  • Coeficiente de \alpha: -3-2+2=-3.
  • Coeficiente de \beta: -1+2-6=-5.
Portanto a equação vira
-3\alpha-5\beta=0.
Multiplicando por -1 para ficar mais agradável:
3\alpha+5\beta=0.
Dessa equação obtemos as formas equivalentes:
\alpha=-\frac{5}{3}\beta\qquad\text{ou}\qquad \beta=-\frac{3}{5}\alpha.

Passo 7

Exemplo numérico de verificação (para fixar): escolha \beta=3. Então \alpha=-\tfrac{5}{3}\cdot 3=-5. Para \alpha=-5,\beta=3 a combinação é (-12,16,-14) e o produto escalar com \vec{w}=(-1,1,2) é
(-12)(-1)+16(1)+(-14)(2)=12+16-28=0,
confirmando que a relação funciona.

Resposta

3\alpha+5\beta=0
\alpha=-\frac{5}{3}\beta

Exercícios relacionados