Sejam
. Determine a relação entre
e
de modo que tenhamos
perpendicular a
.
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede uma relação entre
e
tal que
seja perpendicular a
.
Dados fornecidos:
O que se pede:
- Encontrar a relação entre
e tal que seja perpendicular a .
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): dois vetores em
são perpendiculares quando o produto escalar (dot product) entre eles é zero. Para vetores
o produto escalar é
Aqui, a condição de perpendicularidade será simplesmente:
Passo 3
Vou reescrever os vetores em componentes (isso facilita calcular o produto escalar):
A combinação linear tem componentes:
Passo 4
Agora aplico a condição de perpendicularidade usando o produto escalar:
Substituindo as componentes:
Passo 5
Calculo termo a termo e simplifico passo a passo:
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Somando todos:
Passo 6
Agrupando os coeficientes de
e de
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Portanto a equação vira
Multiplicando por
para ficar mais agradável:
Dessa equação obtemos as formas equivalentes:
Passo 7
Exemplo numérico de verificação (para fixar): escolha
. Então
. Para
a combinação é
e o produto escalar com
é
confirmando que a relação funciona.