Sejam
e
dois vetores não nulos que formam um mesmo ângulo com um vetor
. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Dados: sejam
e vetores não nulos e exista um vetor tal que e formam o mesmo ângulo com . - Pedido: mostrar que
Informações relevantes extraídas do enunciado:
,
, e o ângulo entre
e
é igual ao ângulo entre
e
. Não há outros dados numéricos.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir a informação "formam o mesmo ângulo com
" em uma igualdade envolvendo produto escalar. Lembrete (aula rápida): o produto escalar entre dois vetores
e
satisfaz
onde
é o ângulo entre
e
. Assim, se o ângulo de
com
é igual ao ângulo de
com
, então os cossenos desses ângulos são iguais. Escrevendo com produto escalar, obtemos:
Como
(se
o ângulo não estaria bem definido no sentido usual), simplificamos para
Passo 3
A igualdade do passo anterior dá uma relação linear que vamos rearranjar. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Isto é
Interpretação geométrica:
é ortogonal ao vetor
.
Passo 4
Agora observe uma propriedade muito útil: o produto escalar entre os vetores
e
é zero. Vamos calcular:
Ou seja, os vetores
e
são ortogonais.
Passo 5
Do passo 3 temos que
é ortogonal a
. Do passo 4 vimos que
é outro vetor ortogonal a esse mesmo
. Em um plano (ou, mais precisamente, no subespaço gerado por
e
) os vetores ortogonais a um dado vetor formam uma reta; portanto
e
são colineares — ou seja, têm a mesma direção. Formalmente, existe um escalar
tal que
Isto mostra que a direção de
é a do vetor
. (Intuitivamente:
está no bissetor do ângulo entre
e
.)
Passo 6
Agora, como o problema pede a escrita de
na forma
basta notar que a expressão do membro direito é exatamente a mesma direção do vetor
, pois
Portanto esse membro direito é apenas um escalar (
) multiplicando o vetor
. Como multiplicar por escalar não altera direção, a combinação acima tem a mesma direção de
. Assim
pode ser escrito como essa combinação linear — com o escalar adequado já escolhido na expressão (ou seja, tomamos o escalar
na forma colinear do passo anterior).
Observação didática rápida: o que fizemos foi primeiro mostrar que
aponta na mesma direção de
(essa é a ideia do bissetor angular em forma vetorial). Em seguida escrevemos explicitamente um múltiplo desse vetor que dá a combinação com coeficientes somando 1, que é justamente a forma pedida no enunciado.