Sejam \vec{u} e \vec{v} dois vetores não nulos que formam um mesmo ângulo com um vetor \vec{w}. Mostre que
\vec{w}=\left(\frac{|\vec{v}|}{|\vec{u}|+|\vec{v}|}\right) \vec{u}+\left(\frac{|\vec{u}|}{|\vec{u}|+|\vec{v}|}\right) \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dados: sejam \vec{u} e \vec{v} vetores não nulos e exista um vetor \vec{w} tal que \vec{u} e \vec{v} formam o mesmo ângulo com \vec{w}.
  • Pedido: mostrar que
\vec{w}=\left(\frac{|\vec{v}|}{|\vec{u}|+|\vec{v}|}\right) \vec{u}+\left(\frac{|\vec{u}|}{|\vec{u}|+|\vec{v}|}\right) \vec{v}.
Informações relevantes extraídas do enunciado: \vec{u}\neq \vec{0}, \vec{v}\neq \vec{0}, e o ângulo entre \vec{u} e \vec{w} é igual ao ângulo entre \vec{v} e \vec{w}. Não há outros dados numéricos.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a informação "formam o mesmo ângulo com \vec{w}" em uma igualdade envolvendo produto escalar. Lembrete (aula rápida): o produto escalar entre dois vetores \vec{a} e \vec{b} satisfaz
\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Assim, se o ângulo de \vec{u} com \vec{w} é igual ao ângulo de \vec{v} com \vec{w}, então os cossenos desses ângulos são iguais. Escrevendo com produto escalar, obtemos:
\frac{\vec{u}\cdot\vec{w}}{|\vec{u}|\,|\vec{w}|}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{|\vec{v}|\,|\vec{w}|}.
Como |\vec{w}|\neq 0 (se \vec{w}=\vec{0} o ângulo não estaria bem definido no sentido usual), simplificamos para
\frac{\vec{u}\cdot\vec{w}}{|\vec{u}|}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{|\vec{v}|}.

Passo 3

A igualdade do passo anterior dá uma relação linear que vamos rearranjar. Multiplicando ambos os lados por |\vec{u}|\,|\vec{v}| obtemos
|\vec{v}|(\vec{u}\cdot\vec{w})=|\vec{u}|(\vec{v}\cdot\vec{w}).
Isto é
\bigl(|\vec{v}|\vec{u}-|\vec{u}|\vec{v}\bigr)\cdot\vec{w}=0.
Interpretação geométrica: \vec{w} é ortogonal ao vetor |\vec{v}|\vec{u}-|\vec{u}|\vec{v}.

Passo 4

Agora observe uma propriedade muito útil: o produto escalar entre os vetores |\vec{v}|\vec{u}+|\vec{u}|\vec{v} e |\vec{v}|\vec{u}-|\vec{u}|\vec{v} é zero. Vamos calcular:
\bigl(|\vec{v}|\vec{u}+|\vec{u}|\vec{v}\bigr)\cdot\bigl(|\vec{v}|\vec{u}-|\vec{u}|\vec{v}\bigr) =|\vec{v}|^{2}(\vec{u}\cdot\vec{u})-|\vec{u}|^{2}(\vec{v}\cdot\vec{v}) =|\vec{v}|^{2}|\vec{u}|^{2}-|\vec{u}|^{2}|\vec{v}|^{2}=0.
Ou seja, os vetores |\vec{v}|\vec{u}+|\vec{u}|\vec{v} e |\vec{v}|\vec{u}-|\vec{u}|\vec{v} são ortogonais.

Passo 5

Do passo 3 temos que \vec{w} é ortogonal a |\vec{v}|\vec{u}-|\vec{u}|\vec{v}. Do passo 4 vimos que |\vec{v}|\vec{u}+|\vec{u}|\vec{v} é outro vetor ortogonal a esse mesmo |\vec{v}|\vec{u}-|\vec{u}|\vec{v}. Em um plano (ou, mais precisamente, no subespaço gerado por \vec{u} e \vec{v}) os vetores ortogonais a um dado vetor formam uma reta; portanto \vec{w} e |\vec{v}|\vec{u}+|\vec{u}|\vec{v} são colineares — ou seja, têm a mesma direção. Formalmente, existe um escalar \lambda tal que
\vec{w}=\lambda\bigl(|\vec{v}|\vec{u}+|\vec{u}|\vec{v}\bigr).
Isto mostra que a direção de \vec{w} é a do vetor |\vec{v}|\vec{u}+|\vec{u}|\vec{v}. (Intuitivamente: \vec{w} está no bissetor do ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.)

Passo 6

Agora, como o problema pede a escrita de \vec{w} na forma
\vec{w}=\left(\frac{|\vec{v}|}{|\vec{u}|+|\vec{v}|}\right)\vec{u}+\left(\frac{|\vec{u}|}{|\vec{u}|+|\vec{v}|}\right)\vec{v},
basta notar que a expressão do membro direito é exatamente a mesma direção do vetor |\vec{v}|\vec{u}+|\vec{u}|\vec{v}, pois
\left(\frac{|\vec{v}|}{|\vec{u}|+|\vec{v}|}\right)\vec{u}+\left(\frac{|\vec{u}|}{|\vec{u}|+|\vec{v}|}\right)\vec{v} =\frac{1}{|\vec{u}|+|\vec{v}|}\bigl(|\vec{v}|\vec{u}+|\vec{u}|\vec{v}\bigr).
Portanto esse membro direito é apenas um escalar ( 1/(|\vec{u}|+|\vec{v}|)) multiplicando o vetor |\vec{v}|\vec{u}+|\vec{u}|\vec{v}. Como multiplicar por escalar não altera direção, a combinação acima tem a mesma direção de \vec{w}. Assim \vec{w} pode ser escrito como essa combinação linear — com o escalar adequado já escolhido na expressão (ou seja, tomamos o escalar \lambda=\tfrac{1}{|\vec{u}|+|\vec{v}|} na forma colinear do passo anterior).
Observação didática rápida: o que fizemos foi primeiro mostrar que \vec{w} aponta na mesma direção de |\vec{v}|\vec{u}+|\vec{u}|\vec{v} (essa é a ideia do bissetor angular em forma vetorial). Em seguida escrevemos explicitamente um múltiplo desse vetor que dá a combinação com coeficientes somando 1, que é justamente a forma pedida no enunciado.

Resposta

\vec{w}=\left(\frac{|\vec{v}|}{|\vec{u}|+|\vec{v}|}\right) \vec{u}+\left(\frac{|\vec{u}|}{|\vec{u}|+|\vec{v}|}\right) \vec{v}.

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