Sejam \vec{u}=(2,-3,6) e \vec{v}=(7,0,14). Determine o valor de \lambda de modo que tenhamos \vec{v}-\lambda \vec{u} perpendicular ao vetor \vec{u}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(2,-3,6) e \vec{v}=(7,0,14) e pede: encontrar o valor de \lambda tal que o vetor \vec{v}-\lambda\vec{u} seja perpendicular a \vec{u}.\n
Informações relevantes fornecidas:
\vec{u}=(2,-3,6), \vec{v}=(7,0,14).\n
Pergunta: determinar \lambda para que \vec{v}-\lambda\vec{u} seja perpendicular a \vec{u}.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): dois vetores são perpendiculares (ortogonais) exatamente quando o produto escalar (dot product) entre eles é zero. Para vetores em \mathbb{R}^3, o produto escalar de \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aqui a_i e b_i são as componentes dos vetores; multiplicamos componente a componente e somamos. Então a condição de perpendicularidade que vamos usar é
(\vec{v}-\lambda\vec{u})\cdot\vec{u}=0.

Passo 3

Usamos a linearidade do produto escalar para expandir a condição:
(\vec{v}-\lambda\vec{u})\cdot\vec{u}=\vec{v}\cdot\vec{u}-\lambda(\vec{u}\cdot\vec{u}).
Portanto a equação a resolver é
\vec{v}\cdot\vec{u}-\lambda(\vec{u}\cdot\vec{u})=0.
Isto é uma equação linear em \lambda.

Passo 4

Calculemos \vec{u}\cdot\vec{v} componente a componente usando os vetores dados:
\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot7+(-3)\cdot0+6\cdot14.
Agora as multiplicações e soma:
2\cdot7=14,\quad (-3)\cdot0=0,\quad 6\cdot14=84,
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\vec{u}\cdot\vec{v}=14+0+84=98.

Passo 5

Calculemos \vec{u}\cdot\vec{u}, que é o quadrado da norma de \vec{u}:
\vec{u}\cdot\vec{u}=2^2+(-3)^2+6^2.
Fazendo as contas:
2^2=4,\quad (-3)^2=9,\quad 6^2=36,
portanto
\vec{u}\cdot\vec{u}=4+9+36=49.

Passo 6

Substituímos os resultados na equação do Passo 3:
98-\lambda\cdot49=0.
Isolando \lambda:
\lambda=\frac{98}{49}.
Simplificando a fração:
\lambda=2.

Passo 7

Verificação (sempre bom conferir): com \lambda=2,
\vec{v}-2\vec{u}=(7-2\cdot2,\;0-2\cdot(-3),\;14-2\cdot6)=(3,6,2).
O produto escalar com \vec{u} é
(2,-3,6)\cdot(3,6,2)=2\cdot3+(-3)\cdot6+6\cdot2=6-18+12=0,
confirmando que são perpendiculares.

Resposta

\lambda=2

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