Para quais valores de a as matrizes abaixo são diagonalizáveis?
B=\left[\begin{array}{ll}1 & a \\\ 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: para quais valores de a a matriz abaixo é diagonalizável?
B=\begin{pmatrix}1 & a \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}
Informações dadas:
\;B é uma matriz quadrada de ordem 2 com entradas dependentes do parâmetro \;a.
A pergunta única é: determinar os valores de \;a tais que \;B seja diagonalizável.]

Passo 2

Observação sobre autovalores (e por que é fácil aqui): para matrizes triangulares (superior ou inferior), os autovalores aparecem nas entradas diagonais. Então, olhando para B, os autovalores são os elementos da diagonal.
Portanto, os autovalores de B são
\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=1.
Isso significa que o autovalor \;1 tem multiplicidade algébrica igual a 2 (ou seja, aparece duas vezes).
Explicação didática curta: multiplicidade algébrica é “quantas vezes” o autovalor aparece no polinômio característico. Aqui o polinômio característico é (\lambda-1)^2.

Passo 3

Definição útil e prática de diagonalizabilidade: uma matriz é diagonalizável se existe uma base do espaço formada por autovetores da matriz. Em outras palavras, para cada autovalor \lambda precisamos de um número de autovetores linearmente independentes igual à multiplicidade algébrica de \lambda.
No caso de uma matriz 2\times2:
  • se houver dois autovalores distintos, automaticamente temos dois autovetores independentes e a matriz é diagonalizável;
  • se o autovalor for repetido (multiplicidade algébrica 2), como aqui, a matriz será diagonalizável apenas se o espaço próprio (espaço de autovetores) associado a esse autovalor tiver dimensão 2. Caso contrário, se a dimensão do espaço próprio for 1, não conseguimos uma base formada só por autovetores e a matriz não é diagonalizável.

Passo 4

Vamos calcular explicitamente o espaço próprio de \;B para o autovalor \;1. Resolvemos (B-I)v=0, onde I é a matriz identidade 2\times2 e v=(x,y)^T é um vetor genérico.
Primeiro escrevemos B-I:
B-I=\begin{pmatrix}1 & a \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & a \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Agora a equação (B-I)v=0 fica
\begin{pmatrix}0 & a \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Isso dá o sistema (pela primeira linha)
0\cdot x + a\cdot y = 0,
e a segunda linha é 0=0, que não impõe restrição adicional.]

Passo 5

Analisando o sistema:
  • Se a\neq 0, da equação a y=0 segue y=0. Então os vetores próprios têm a forma
v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] 0\end{pmatrix},
com x livre (qualquer x\neq 0 dá um autovetor). O espaço próprio tem dimensão 1 (toda solução é múltipla de \,(1,0)^T). Como a multiplicidade algébrica é 2 mas a dimensão do espaço próprio é 1, não existe uma base de dois autovetores, logo \;B NÃO é diagonalizável quando a\neq 0.
Explicação informal: com a\neq 0 a matriz é um bloco de Jordan não-trivial; há apenas uma direção de autovetores.]

Passo 6

  • Se a=0, a matriz fica
B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I,
a matriz identidade. Para I todos os vetores são autovetores com autovalor 1, ou seja, o espaço próprio é todo \mathbb{R}^2 (ou \mathbb{C}^2, dependendo do campo), de dimensão 2. Nesse caso a multiplicidade algébrica 2 coincide com a dimensão do espaço próprio 2, portanto B é diagonalizável quando a=0 (na verdade já é diagonal).
Pequena observação extra (útil para prova): outra forma de ver é pelo polinômio minimal. Se a\neq 0 o polinômio minimal é (t-1)^2, o que indica que não é diagonalizável; se a=0 o polinômio minimal é t-1, e aí é diagonalizável.]

Resposta

a=0

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