Para quais valores de
as matrizes abaixo são diagonalizáveis?
Passo 1
O enunciado pede: para quais valores de
a matriz abaixo é diagonalizável?
Informações dadas:
é uma matriz quadrada de ordem
com entradas dependentes do parâmetro
.
A pergunta única é: determinar os valores de tais que
seja diagonalizável.]
A pergunta única é: determinar os valores de
Passo 2
Observação sobre autovalores (e por que é fácil aqui): para matrizes triangulares (superior ou inferior), os autovalores aparecem nas entradas diagonais. Então, olhando para
, os autovalores são os elementos da diagonal.
Portanto, os autovalores de são
Portanto, os autovalores de
Isso significa que o autovalor
tem multiplicidade algébrica igual a
(ou seja, aparece duas vezes).
Explicação didática curta: multiplicidade algébrica é “quantas vezes” o autovalor aparece no polinômio característico. Aqui o polinômio característico é
.
Passo 3
Definição útil e prática de diagonalizabilidade: uma matriz é diagonalizável se existe uma base do espaço formada por autovetores da matriz. Em outras palavras, para cada autovalor
precisamos de um número de autovetores linearmente independentes igual à multiplicidade algébrica de
.
No caso de uma matriz
:
- se houver dois autovalores distintos, automaticamente temos dois autovetores independentes e a matriz é diagonalizável;
- se o autovalor for repetido (multiplicidade algébrica
), como aqui, a matriz será diagonalizável apenas se o espaço próprio (espaço de autovetores) associado a esse autovalor tiver dimensão . Caso contrário, se a dimensão do espaço próprio for , não conseguimos uma base formada só por autovetores e a matriz não é diagonalizável.
Passo 4
Vamos calcular explicitamente o espaço próprio de
para o autovalor
. Resolvemos
, onde
é a matriz identidade
e
é um vetor genérico.
Primeiro escrevemos
:
Agora a equação
fica
Isso dá o sistema (pela primeira linha)
e a segunda linha é
, que não impõe restrição adicional.]
Passo 5
Analisando o sistema:
- Se
, da equação segue . Então os vetores próprios têm a forma
com
livre (qualquer
dá um autovetor). O espaço próprio tem dimensão
(toda solução é múltipla de
). Como a multiplicidade algébrica é
mas a dimensão do espaço próprio é
, não existe uma base de dois autovetores, logo
NÃO é diagonalizável quando
.
Explicação informal: com
a matriz é um bloco de Jordan não-trivial; há apenas uma direção de autovetores.]
Passo 6
- Se
, a matriz fica
a matriz identidade. Para
todos os vetores são autovetores com autovalor
, ou seja, o espaço próprio é todo
(ou
, dependendo do campo), de dimensão
. Nesse caso a multiplicidade algébrica
coincide com a dimensão do espaço próprio
, portanto
é diagonalizável quando
(na verdade já é diagonal).
Pequena observação extra (útil para prova): outra forma de ver é pelo polinômio minimal. Se
o polinômio minimal é
, o que indica que não é diagonalizável; se
o polinômio minimal é
, e aí é diagonalizável.]