a) Sejam r=x i+y j o vetor posição de um ponto P e E um campo elétrico gerado por uma carga elétrica Q em P. Provar que todo campo elétrico E, definido por
E(x, y)=Q|r|^3 r
é conservativo. Isto é, existe uma função escalar f=-V, denominada potencial elétrico do campo E, para qual -nabla V=nabla f=E.
Encontrar o chamado potencial newtoniano u do campo de força
F=-G m M|r|^3 r
de atração entre duas partículas de massa M e m, situadas no espaço, em que G é a gravidade e r=x i+y j+z k.

Passo 1

O enunciado nos dá em R^2setminus0 o campo elétrico
E(x,y) =Q|vec r|^3vec r =l(Q,x(x^2+y^2)^3/2,;Q,y(x^2+y^2)^3/2r)
e pede para provar que ele é conservativo, ou seja, que existe uma função escalar f tal que nabla f=E. Em seguida, no espaço R^3setminus0, temos o campo gravitacional
F(x,y,z) =-G,m,M|vec r|^3vec r
e queremos encontrar sua função potencial newtoniana u com F=-nabla u.

Passo 2

Mostramos que o rotacional de E é zero. Escrevendo
E1=Q,x(x^2+y^2)^3/2 e
E2=Q,y(x^2+y^2)^3/2,
temos
partial E2partial x =partialpartial xl(Q,y(x^2+y^2)^3/2r) =-3Q,x,y(x^2+y^2)^5/2,
partial E1partial y =partialpartial yl(Q,x(x^2+y^2)^3/2r) =-3Q,x,y(x^2+y^2)^5/2
Como partial E2/partial x=partial E1/partial y, o campo é irrotacional e, numa região simplesmente conexa (aqui R^2setminus0 admite potencial), é conservativo.

Passo 3

Para achar f tal que partial f/partial x=E1, integramos
partial fpartial x =Q,x(x^2+y^2)^3/2 Longrightarrow f(x,y) =integralQ,x(x^2+y^2)^3/2,dx =-Qraizx^2+y^2+h(y)
Depois exigimos partial f/partial y=E2, ou seja
partial fpartial y =Q,y(x^2+y^2)^3/2 Longrightarrow h'(y)=0
Logo h é constante e podemos escolher h=0. Assim
f(x,y)=-Qraizx^2+y^2

Passo 4

No caso gravitacional em R^3setminus0, note que
|vec r|=raizx^2+y^2+z^2,
e é conhecida a identidade
nablal(tfrac1|vec r|r)=-vec r|vec r|^3
Multiplicando por G,m,M e colocando o sinal adequado, obtemos
F =-G,m,M|vec r|^3,vec r =-nablal(!-G,m,M|vec r|r) =-nabla u,
logo a escolha de potencial é
u(x,y,z)=-G,m,Mraizx^2+y^2+z^2

Resposta

f(x,y)=-Qraizx^2+y^2, u(x,y,z)=-G,m,Mraizx^2+y^2+z^2

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