a) Sejam
o vetor posição de um ponto
e
um campo elétrico gerado por uma carga elétrica
em
. Provar que todo campo elétrico
, definido por
é conservativo. Isto é, existe uma função escalar
, denominada potencial elétrico do campo
, para qual
.
Encontrar o chamado potencial newtoniano
do campo de força
de atração entre duas partículas de massa
e
, situadas no espaço, em que
é a gravidade e
.
Encontrar o chamado potencial newtoniano
Passo 1
O enunciado nos dá em
o campo elétrico
e pede para provar que ele é conservativo, ou seja, que existe uma função escalar
tal que
. Em seguida, no espaço
, temos o campo gravitacional
e queremos encontrar sua função potencial newtoniana
com
.
Passo 2
Mostramos que o rotacional de
é zero. Escrevendo
e
temos
temos
Como
, o campo é irrotacional e, numa região simplesmente conexa (aqui
admite potencial), é conservativo.
Passo 3
Para achar
tal que
, integramos
Depois exigimos
, ou seja
Logo
é constante e podemos escolher
. Assim
Passo 4
No caso gravitacional em
, note que
e é conhecida a identidade
Multiplicando por e colocando o sinal adequado, obtemos
Multiplicando por
logo a escolha de potencial é