Verifique se os campos de vetores abaixo são conservativos e, em caso afirmativo, encontre o seu potencial:
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para verificar se é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar um potencial
. Vamos usar que em
simplesmente conexo,
é conservativo se
.
Passo 2
Escrevemos
com
Calculamos as co-derivadas:
Como todas coincidem,
e, portanto,
é conservativo.
Passo 3
Para achar o potencial, integramos
em relação a
:
sendo
função arbitrária de
e
.
Passo 4
Impondo
:
Assim
Passo 5
Impondo
:
Portanto