Verifique se os campos de vetores abaixo são conservativos e, em caso afirmativo, encontre o seu potencial:
F(x, y, z)=y e^z i+x e^z j+x y e^z k.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F(x,y,z)=y e^zi+x e^zj+x y e^zk e pede para verificar se é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar um potencial phi. Vamos usar que em R^3 simplesmente conexo, F é conservativo se nablatimesF=0.

Passo 2

Escrevemos F=(P,Q,R) com
P = y e^z, Q = x e^z, R = x y e^z
Calculamos as co-derivadas:
partial Ppartial y=e^z, partial Qpartial x=e^z,
partial Ppartial z=y e^z, partial Rpartial x=y e^z,
partial Qpartial z=x e^z, partial Rpartial y=x e^z
Como todas coincidem, nablatimesF=0 e, portanto, F é conservativo.

Passo 3

Para achar o potencial, integramos P em relação a x:
phi(x,y,z)=integral P,dx = integral y e^z,dx = x y e^z + g(y,z),
sendo g função arbitrária de y e z.

Passo 4

Impondo partialphi/partial y = Q:
partialphipartial y = x e^z + partial gpartial y = x e^z Longrightarrow partial gpartial y=0 Longrightarrow g(y,z)=h(z)
Assim
phi(x,y,z)=x y e^z + h(z)

Passo 5

Impondo partialphi/partial z = R:
partialphipartial z = x y e^z + h'(z) = x y e^z Longrightarrow h'(z)=0 Longrightarrow h(z)=C
Portanto
phi(x,y,z)=x y e^z + C

Resposta

F é conservativo e seu potencial é
phi(x,y,z)=x y e^z + C

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