Calcule o divergente e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
F(x, y, z)=(x^2+e^y cos 2 y) i+(y^2+e^x sen 2 x) j+z^2 k;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional do campo de vetores
F(x,y,z)=l(x^2+e^ycos(2y)r),i+l(y^2+e^xsin(2x)r),j+z^2,k
O conteúdo é o uso de derivadas parciais em coordenadas cartesianas para aplicar as fórmulas
divF=partial Ppartial x+partial Qpartial y+partial Rpartial z,
nablatimesF=l(partial Rpartial y-partial Qpartial zr)i+l(partial Ppartial z-partial Rpartial xr)j+l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr)k,
onde P=x^2+e^ycos(2y), Q=y^2+e^xsin(2x) e R=z^2.

Passo 2

Calcular o divergente:
partial Ppartial x=partialpartial xl(x^2+e^ycos(2y)r)=2x,
partial Qpartial y=partialpartial yl(y^2+e^xsin(2x)r)=2y,
partial Rpartial z=partialpartial z(z^2)=2z

Passo 3

Somando as parcelas obtemos o divergente:
divF=2x+2y+2z=2,(x+y+z)

Passo 4

Calcular o rotacional via
nablatimesF=l(Ry-Qzr)i+l(Pz-Rxr)j+l(Qx-Pyr)k
Note que Ry=0, Qz=0, Pz=0, Rx=0, restando apenas a componente em k.

Passo 5

Calcular as derivadas que aparecem em k:
partial Qpartial x=partialpartial xl(y^2+e^xsin(2x)r) =e^xsin(2x)+e^xcdot2cos(2x),
partial Ppartial y=partialpartial yl(x^2+e^ycos(2y)r) =e^ycos(2y)-e^ycdot2sin(2y)

Passo 6

Substituindo em k obtemos
Qx-Py =l(e^xsin(2x)+2e^xcos(2x)r) -l(e^ycos(2y)-2e^ysin(2y)r)
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nablatimesF =;0,i+0,j+l(e^xsin(2x)+2e^xcos(2x)-e^ycos(2y)+2e^ysin(2y)r),k

Resposta

Divergente:
divF=2,(x+y+z)
Rotacional:
nablatimesF =l(0,,0,,e^xsin(2x)+2e^xcos(2x)-e^ycos(2y)+2e^ysin(2y)r)

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