Calcule o divergente e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
F(x, y, z)=x y^2 i+z e^x y j+z k;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional do campo de vetores
F(x,y,z)=x,y^2,i+z,e^xy,j+z,k
O conteúdo aqui é cálculo vetorial no espaço:
– o divergente é div,F=partialxFx+partialyFy+partialzFz;
– o rotacional é rot,F=nablatimesF, cuja fórmula em coordenadas cartesiana vem do determinante com i,j,k e as derivadas parciais.

Passo 2

Calculamos o divergente:
div,F =partialpartial x(x,y^2) +partialpartial yl(z,e^xyr) +partialpartial z(z)
Cada termo é
partialx(xy^2)=y^2,
partialy(z,e^xy)=zcdot x,e^xy,
partialz(z)=1.
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div,F=y^2+x,z,e^xy+1

Passo 3

Agora o rotacional via determinante
rot,F =nablatimesF = i&j&k partialx&partialy&partialz x,y^2&z,e^xy&z
Isso dá as componentes
rotx =partialy(z)-partialz(z,e^xy) =0 - e^xy =-e^xy,
roty =partialz(xy^2)-partialx(z) =0 - 0 =0,
rotz =partialx(z,e^xy)-partialy(xy^2) =z,y,e^xy-2,x,y

Resposta

div,F=y^2+x,z,e^xy+1
rot,F=(-e^xy,,0,,z,y,e^xy-2,x,y)

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