Questão 2: ( 6 pts ) Econtre uma base do espaço solução do sistema homôgeneo e encontre a dimensão desse espaço. Nos casos:
\left\{\begin{array}{r}x+y+z=0 \\\\ 2 x-y+z=0 \\\ y+2 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do espaço de soluções do sistema homogêneo
\begin{cases} x + y + z = 0,\\\\ 2x - y + z = 0,\\\ y + 2z = 0.
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss e aplicação do Teorema da Dimensão (nulidade = n - \operatorname{posto}).

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada e aplicando operações de linha:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 2 & -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right) \;\xrightarrow{L_2\gets L_2-2L_1}\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -3 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right) \;\xrightarrow{L_3\gets L_3+{\tfrac13}L_2}\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -3 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac{5}{3} & 0 \end{array}\right).

Passo 3

Da última linha vem \tfrac{5}{3}z=0, logo z=0. Substituindo em L_2 y=0 e em L_1 x=0. Então a única solução é o vetor nulo.

Passo 4

Como o sistema só admite (x,y,z)=(0,0,0), o espaço solução é o subespaço trivial. A base do espaço trivial é o conjunto vazio e sua dimensão é zero.

Resposta

A base do espaço solução é o conjunto vazio, e a dimensão desse espaço é 0.

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